高中数学第三章.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 33.3 函数的最大 (小)值与导数 提出问题 如图为yf(x),xa,b的图象 问题 1:观察 a,b上函数yf(x)的图象,试找出它的极大值、极小值 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值 问题 2:结合图象判断,函数yf(x)在区间 a,b上是否存在最大值、最小值?若存在, 分别为多少? 提示:存在f(x)minf(a),f(x)maxf(x3) 问题 3:函数yf(x)在a,b上的最大 (小)值一定是其极值吗? 提示:不一定,也可能是区间端点的函数值 问题 4:怎样确定函数f(x)在a,b上的最小值和
2、最大值? 提示:比较极值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最大 (小)值 导入新知 1函数f(x)在闭区间 a,b上的最值 如果在区间 a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在 a,b上一定 有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得 2求函数yf(x)在a,b上的最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值 化解疑难 理解函数最值时,需注意以下几点 (1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部区间上对函数值的比较,具有 相
3、对性; 而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比 较 (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 有唯一性, 而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常数函数就既没有极大值 也没有极小值 (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的不一定有最值,有最 值的也未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取必定是极值 利用导数求最值 例 1 求下列各函数的最值: (1)f(x)x33x,x 3,3; (2)f(x)x2 54 x (x 0) 解 (1)f(x)
4、 33x23(1x)(1x) 令f (x)0,得x1 或x 1, 当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表: x 3(3, 1)1(1,1)1(1,3)3 f(x)00 f(x)0单调递减2单调递增2单调递减18 所以x1 和x 1 是函数在 3, 3上的两个极值点,且f(1)2,f(1) 2. 又因为f(x)在区间端点处的取值为f(3) 0,f(3) 18, 所以f(x)max2,f(x)min 18. (2)f(x)2x 54 x2,令 f(x)0 得x 3. 当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表: x (, 3)3(3,0) f (x)0 f(x)单调递减极小值单调递增 所以
5、当x 3 时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故f(x)的最小值为f( 3)27,无最大值 类题通法 求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数为0 的点,无须判断出是极 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最大的 就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值 活学活用 求函数f(x) 1 3x 3 4x4 在0,3上的极值及最大值与最小值 解:f(x)x24(x2)(x2), 令f (x)0,解得x1 2(舍去 ),x22. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x 0(0,2)2(2,3)
6、3 f(x)0 f(x)4单调递减极小值 4 3 单调递增1 函数f(x) 1 3x 3 4x4 在0,3上有极小值且 f(x)极小值 4 3 . 函数的最大值为4,最小值为 4 3. 含参数的函数最值问题 例 2 已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37,求a的值,并求f(x)在 2,2上的最大值 解 f(x)6x212x6x(x2), 令f (x)0,得x0 或x 2. 又f(0)a,f(2)a8,f(2)a40. f(0)f(2)f(2), 当x 2 时,f(x)mina40 37, 得a 3. 当x0 时,f(x)max3. 类题通法 已知函数最值求参数,可先求出函数在给定
7、区间上的极值及函数在区间端点处的函数 值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而 使问题得以解决 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若f(x)ax 36ax2 b,x 1,2的最大值是3,最小值是 29,求a,b的值 解:f(x)3ax 212ax 3a(x24x) 令f (x)0,得x0 或x 4. x1,2, x0. 由题意知a0. (1)若a0,则f(x),f(x)随x变化的情况如下表: x (1,0)0(0,2) f(x)0 f(x)单调递增极大值 3单调递减 当x0 时,f(x)取最大值f(0)b3. 又f(2)8a24a 3
8、16a3, f(1) 7a3f(2), 当x2 时,f(x)取最小值, 16a3 29, a2. (2)若a0) (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)0), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当xt时,f(x)取最小值f(t)t3t1, 即h(t)t3t1. (2)令g(t)h(t)(2tm)t33t 1m, 由g(t) 3t230,得t 1或t 1(不符合题意,舍去) 当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表: t (0,1)1(1,2) g(t)0 g(t)单调递增极大值 1m 单调递减 g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m. h(t)0)在x1 处取得
9、极值 3c, 其中a,b, c为常数若对任意x0,不等式f(x) 2c2恒成立,求c的取值范围 解题流程 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 已知函数f (x)ax 4ln x bx4c(x0)在x1 处取得极值3c,其中a,b,c为常数 若 对x0,方程f(x) 2c2有解,求c的取值范围 解:由题意知f(1) 3c, 因此bc 3c,从而b 3. 对f(x)求导,得f(x)4ax 3ln xax41 x4bx 3 x3(4aln xa4b) 由题意,知f(1)0, 因此a4b0,解得a12. 由f (x)48x3ln x(x 0), 令f (x)0,解得x1. 当 0x1
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