高中数学第三章.3导数的几何意义学案含解析新人教A版选修6.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.3 导数的几何意义 导数的几何意义 提出问题 如图,Pn的坐标为 (xn,f(xn)(n 1,2,3,4, ),P的坐标为 (x0,y0),直线PT为在点P 处的切线 问题 1:割线PPn的斜率kn是什么? 提示:割线PPn的斜率kn yn xn fxnfx0 xnx0 . 问题 2:当点Pn趋近于点P时,割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系? 提示:当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于在点P处的切线PT. 问题 3:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系? 提示:kn无限趋近于切线PT的斜率k. 问题 4:如何求得过点
2、P的切线PT的斜率? 提示:函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k, 即k lim x0 fx0xfx0 x f(x0) 导入新知 导数的几何意义 函 数f(x) 在xx0处 的 导 数 就 是 切 线PT的 斜 率k, 即kf (x0) lim x0 fx0xfx0 x . 化解疑难 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 曲线yf(x)在点P处的切线的斜率, 即函数yf(x)在点P处的导数, 反映了曲线在点P 处的变化率 . 导函数 提出问题 已知函数f(x)x22. 问题 1:如何求f(x0)? 提示:f (x0) lim x 0 x0x 22 x202 x lim x0 (
3、2x0x) 2x0. 问题 2:若x0是一变量x,f(x)是常量吗? 提示:f (x) 2x,说明f(x)不是常量,而是关于x的函数 导入新知 导函数的定义 对于函数yf(x),当xx0时,f(x0) 是一个确定的数,当x变化时,f(x) 便是一个 关于x的函数,我们称它为函数yf(x)的导函数 (简称为导数 ),即f(x)y lim x 0 fxxfx x . 化解疑难 函数yf(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系 (1)函数在点x0处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限,它是 一个数值,不是变数 (2)导函数也简称导数,所以 “导数” f(x)在一
4、点x0处的导数 (特殊 )导函数 (一般 ) (3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值 曲线的切线方程 例 1 若函数f(x)x 1 x,求它与 x轴交点处的切线方程 解 由f(x)x 1 x0,得 x 1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即与x轴的交点坐标为(1,0),(1,0) f(x) lim x0 xx 1 xx x 1 x x lim x0 1 1 xxx 1 1 x2, 切线的斜率k1 1 12. 切线的方程为y 2(x1)或y2(x 1), 即 2xy2 0或 2xy20. 类题通法 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程
5、的步骤 (1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0),得到切线的斜率kf(x0) (2)根据直线的点斜式方程,得到切线方程yy0f(x0)(xx0) 活学活用 已知曲线y3x2,求过点A(1,3)的曲线的切线方程 解: y x 31x 2312 x 63x, y|x1 lim x 0 (63x)6. 曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6. 所求的切线方程为y36(x1), 即 6xy3 0. 求切点坐标 例 2 已知抛物线y2x21,问: (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45? (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 解 设点
6、的坐标为(x0,y0),则 y2(x0x)21 2x2 014x0x 2(x) 2. y x4x 02x. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x无限趋近于零时, y x无限趋近于 4x0, 即f (x0)4x0. (1)抛物线的切线的倾斜角为45, 斜率为 tan 45 1, 即f (x0)4x01,得x0 1 4, 该点为 1 4, 9 8 . (2)抛物线的切线平行于直线4xy20, 斜率为 4, 即f (x0)4x04,得x01,该点为 (1,3) (3)抛物线的切线与直线x8y30 垂直, 斜率为 8,即f(x0)4x08, 得x02,该点为 (2,9) 类题通法 求曲线切点
7、坐标的五个步骤 (1)先设切点坐标 (x0,y0); (2)求导数f(x); (3)求切线的斜率f(x0); (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,求出x0; (5)由于点 (x0,y0)在曲线f(x)上,将 (x0,y0)代入求得y0的值,得切点坐标(x0,y0) 活学活用 已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150,求切点P的坐标和实数a的 值 解:设切点P的坐标为 (x0,y0),切线斜率为k. 由y lim x0 y x lim x0 2xx 2 a2x2a x lim x0 (4x2x) 4x, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得ky|xx0 4x0. 根据题意得
8、4x08,x02, 分别代入y2x2a和y8x 15, 得y08a1, 得 a 7, y01. 故所求切点为P(2,1),a 7. 导数几何意义的综合应用 例 3 设函数f(x)x3ax 2 9x1(a 0),若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12x y6 平行,求a的值 解 yf(x0x)f(x0) (x0x)3a(x0x)29(x0x) 1(x30ax 2 09x01) (3x20 2ax0 9)x(3x0a)(x)2(x)3, y x3x 2 02ax09(3x0a)x(x)2. lim x0 y x3x 2 0 2ax0 9, 即f (x0)3x202ax093x0 a 3 29a
9、 2 3. 当x0 a 3时, f (x0)取最小值 9 a 2 3. 斜率最小的切线与12xy 6平行, 该切线斜率为12. 9 a 2 3 12. 解得a 3.又a0,a 3. 类题通法 解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的诸如斜 率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解此处常与函数、不等式等知识 点结合 活学活用 已知抛物线yx2,直线xy20,求抛物线上的点到直线的最短距离 解:根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y2 0的距离最短设切点坐标为(x0,x20),
10、则y | 0 xx lim x 0 x0x 2 x20 x 2x01, 所以x0 1 2,所以切点坐标为 1 2, 1 4 . 切点到直线xy20 的距离为 d 1 2 1 42 2 72 8 , 所以抛物线上的点到直线xy20 的最短距离为 72 8 . 7.导数的几何意义理解的误区 典例 已知曲线y2x27,求曲线过点P(3,9)的切线方程 解 y lim x 0 y x lim x0 2xx 27 2x27 x lim x0 (4x2x)4x. 由于 23 27 119, 故点P(3,9)不在曲线上 设所求切线的切点为A(x0,y0), 则切线的斜率为k 4x0, 故所求的切线方程为yy
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