高中数学第三章3.1.1倾斜角与斜率学案含解析新人教A版必修067.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.1 倾斜角与斜率 直线的倾斜角 提出问题 在平面直角坐标系中,直线l经过点P. 问题 1:直线l的位置能够确定吗? 提示:不能 问题 2:过点P可以作与l相交的直线多少条? 提示:无数条 问题 3:上述问题中的所有直线有什么区别? 提示:倾斜程度不同 导入新知 1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向 与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示,直线l的倾 斜角是APx,直线l的倾斜角是BPx. 2倾斜角的范围:直线的倾斜角的取值范围是0180,并规定与x轴平行或重 合的直线的倾斜角为0. 3倾斜角与直线形
2、状的关系 倾斜角 00 909090 180 直线 化解疑难 对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件: x轴正向;直线向上的方向;小于180的非负角 (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所 成的角 (3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度 (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等. 直线的斜率 提出问题 日常生活中,常用坡度(坡度 升高量 前进量 )表示倾斜程度,例如, “进 2 升
3、 3”与“进 2 升 2”比较,前者更陡一些,因为坡度 3 2 2 2. 问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度 来描述直线的倾斜程度? 提示:可以 问题 2:上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直线的倾 斜程度能否如此度量? 提示:可以 问题 3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系? 提示:与倾斜角的正切值相等 导入新知 1 斜率的定义: 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示, 即ktan_. 2斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k y2y1 x2x1.当 x1 x2时
4、,直线P1P2没有斜率 3斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 化解疑难 1倾斜角与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时,直线的斜率不 存在,此时,直线垂直于x轴 (平行于y轴或与y轴重合 ) (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时,斜率 越大,直线的倾斜程度越大;当90180时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大 2斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调 换,就是说,如果分子是y2y1,分母必须是x2x1;反过来,如果分子是y1y2,分母必须 积一时之跬步臻
5、千里之遥程 马鸣风萧萧整理 是x1x2,即k y1y2 x1x2 y2y1 x2x1. (2)用斜率公式时要一看,二用,三求值一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若 相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行第二步二用,就是将点的坐标代入斜率公 式三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数 进行讨论 直线的倾斜角 例 1 (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角,则直线l的倾斜角为 ( ) A30B60 C30或 150D60或 120 (2)下列说法中,正确的是( ) A直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ,则此直线的倾斜角
6、为 C若直线的倾斜角为,则 sin 0 D任意直线都有倾斜角,且90时,斜率为tan 答案 (1)D (2)D 类题通法 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角 (2)两点注意:当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0;当直线与x轴垂直时,倾斜 角为 90 . 注意直线倾斜角的取值范围是0180. 活学活用 1直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A0 90B90180 C90180D0180 答案: C 2设直线l过原点,其倾斜角为,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直 线l1,则直线l1的倾斜角为 ( ) 积一时
7、之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A45 B 135 C135 D当 0135时为45,当 135180时为135 答案: D 直线的斜率 例 2 (1)已知过两点A(4,y),B(2, 3)的直线的倾斜角为135,则y_; (2)过点P(2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为 _; (3)已知过A(3,1),B(m, 2)的直线的斜率为1,则m的值为 _ 答案 (1)5 (2)1 (3)0 类题通法 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1x2” ,即直线不与x轴垂直, 因为当直线与x轴垂直时,斜 率是不存在的; (2)斜率公式与两点P1,P2的先
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