高中数学第三章3.1.1空间向量及其加减运学案含解析新人教A版选修270.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.1 空间向量及其加减运算 提出问题 李老师下班回家,先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m,再向东 行驶 1 500 m,最后乘电梯上升15 m 到 5 楼的住处在这个过程中,李老师 从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示 ) 问题 1:以上三个位移是同一个平面内的向量吗? 提示:不是 问题 2:如何刻画李老师行驶的位移? 提示:借助于空间向量的运算 导入新知 1空间向量的有关概念 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量 (2)长度:向量的大小叫做向量的长度或模 2几类特殊向量 特殊向量定义表示法 零
2、向量长度为 0 的向量0 单位向量模为 1 的向量 |a| 1 或|AB | 1 相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量a 相等向量方向相同且模相等的向量 ab或AB CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向 量的运 加法 OB OA AB ab 减法 CA OA OC ab 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 算 加法 运算律 (1)交换律:abba; (2)结合律: (ab)ca(bc) 化解疑难 1零向量的方向是任意的,同平面向量中的规定一样,0与任何空间向量平行 2单位向量不一定相等,但单位向量的模一定相等且为1. 3方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此,在空
3、间,同向且等长的有向线段表 示同一向量或相等向量 4 空间任 意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一平面内的两个向 量 空间向量的概念辨析 例 1 下列说法中正确的是( ) A若 |a| |b| ,则a,b的长度相同,方向相同或相反 B若向量a是向量b的相反向量,则|a| |b| C空间向量的减法满足结合律 D在四边形ABCD中,一定有AB AD AC 解 |a| |b| ,说明a与b模相等,但方向不确定;对于a的相反向量ba,故 |a| |b| ,从而 B 正确;只定义加法具有结合律,减法不具有结合律;一般的四边形不具有AB AD AC ,只有在平行四边形中才能成立故选B. 答案: B
4、类题通法 (1)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量 )的模 相等是两个向量相等的必要不充分条件; (2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解 决好这类问题的关键 活学活用 给出下列命题: 零向量没有确定的方向; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC A1C1 ; 若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反 其中正确命题的序号是_ 解析:正确;正确,因为AC 与 A1C1 的大小和方向均相同;不正确, 因为 |a| |b| , 不能确定其方向,所以a与b的方向不能确定
5、综上可知,正确命题为. 答案: 空间向量的加减运算 例 2 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结 果的向量 (1)AB BC C1C ; (2)AB DA A1A . 解 (1)AB BC C1C AB BC CC1 AC CC1 AC1 (如图 ) (2)AB DA A1A AA1 ( AB AD ) AA1 (A 1B1 A1D1 ) AA1 A1C1 AC1 (如图 ) 类题通法 在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法 运算时, 首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平 行四
6、边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 化简: (AB CD )( AC BD ) 解:法一: (统一成加法 ) 原式AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA 0. 法二: (利用OA OB BA ) 原式AB CD AC BD (AB AC )CD BD CB CD BD DB BD 0. 法三: (利用AB OB OA ) 设O是空间内任意一点,则 原式 (OB OA )(OD OC ) ( OC OA )( OD OB ) OB OA OD OC OC OA OD OB 0. 6.明析空间向量加减运算的失
7、误 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简DA DB B1C B1B A1B1 A1B . 解 如图, DA DB B1C B1B A1B1 A1B (DA DB )(B1C B1B ) (A 1B1 A1B ) BA BC BB1 BD BB1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BD1 . 易错防范 1在应用三角形法则求DA DB 时易出错,误写成AB ,其原因是对三角形法则理解 记忆不准,导致结果计算错误 2化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简; (2)利用向量的减法法则,即利用OA OB BA 化简; (3)利用AB OB OA ,把各个向
8、量转化成与空间的某一点有关的向量化简 成功破障 化简:AB AC BC BD DA _. 解析:原式(AB AC )(BC BD ) DA CB DC DA DB DA AB . 答案:AB 随堂即时演练 1在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由顶点连接的向量中,与向量AD 相等的向量共 有( ) A 1个B2 个 C3 个D4 个 解析:选 C 与向量AD 相等的向量有 BC , A1D1 ,B1C1 ,共 3 个 2已知向量AB ,AC ,BC 满足 |AB | | AC | |BC | ,则 ( ) AAB AC BC BAB AC BC CAC 与 BC 同向DAC 与CB 同向
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