高中数学第三章3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案含解析新人教A版必修066.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.2 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行 提出问题 平面几何中,两条直线平行,同位角相等 问题 1:在平面直角坐标中,若l1l2,则它们的倾斜角1与2有什么关系? 提示:相等 问题 2:若l1l2,则l1,l2的斜率相等吗? 提示:不一定,可能相等,也可能都不存在 问题 3:若l1与l2的斜率相等,则l1与l2一定平行吗? 提示:不一定可能平行也可能重合 导入新知 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1l2?k1k2. 化解疑难 对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1l2?k1k2成立的前提条件是:两条直
2、线的斜率都存在;l1与l2不重合 (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90,则l1l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是: l1l2?k1k2或l1,l2斜率都不存在 两条直线垂直 提出问题 已知两条直线l1,l2,若l1的倾斜角为30,l1l2. 问题 1:上述问题中,l1,l2的斜率是多少? 提示:k1 3 3 ,k23. 问题 2:上述问题中两直线l1,l2的斜率有何关系? 提示:k1k2 1. 问题 3:若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为1 吗? 提示:一定 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 导入新知 如果两条直线都有斜率,且它
3、们互相垂直,那么它们的斜率之积等于1;反之,如果它 们的斜率之积等于1,那么它们互相垂直,即l1l2?k1k2 1. 化解疑难 对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1l2?k1k2 1 成立的前提条件是: 两条直线的斜率都存在; k10 且k2 0. (2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂 直 (3)判定两条直线垂直的一般结论为: l1l2?k1k2 1,或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零 两条直线平行的判定 例 1 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行 (1)l1经过点A(2,1),B(3,5),l2经过点
4、C(3, 3),D(8, 7); (2)l1经过点E(0,1),F(2, 1),l2经过点G(3,4),H(2,3); (3)l1的倾斜角为60,l2经过点M(1,3),N(2, 23); (4)l1平行于y轴,l2经过点P(0, 2),Q(0,5) 解 (1)由题意知,k1 51 32 4 5, k2 73 83 4 5,所以直线 l1与直线l2平行或重合, 又kBC 53 33 4 3 4 5,故 l1l2. (2)由题意知,k1 11 201, k2 34 23 1,所以直线 l1与直线l2平行或重合,kFG 41 32 1,故直线l1与直线l2重合 (3)由题意知,k1tan 603,
5、k2 233 21 3,k1k2,所以直线l1与直线l2平 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 行或重合 (4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1l2. 类题通法 判断两条不重合直线是否平行的步骤 活学活用 求证:顺次连接A(2,3),B5, 7 2 ,C(2,3),D(4,4)四点所得 的四边形是梯形(如图所示 ) 证明:因为kAB 7 2 3 52 1 6, kCD 43 4 2 1 6,所以 kABkCD,从而ABCD. 因为kBC 3 7 2 25 13 6 ,kDA 34 24 7 6, 所以kBCkDA,从而直线BC与DA不平行 因
6、此,四边形ABCD是梯形 两条直线垂直的问题 例 2 已知直线l1经过点A(3,a),B(a2, 3),直线l2经过点C(2,3),D(1,a2), 如果l1l2,求a的值 解 设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2. 直线l2经过点C(2,3),D(1,a2),且 2 1, l2的斜率存在 当k20 时,a23,则a5,此时k1不存在,符合题意 当k20 时,即a5,此时k10, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由k1k2 1,得 3a a23 a23 1 2 1,解得a 6. 综上可知,a的值为 5 或 6. 类题通法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看:就是看所给两点
7、的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等, 则进行第一步 (2)二用:就是将点的坐标代入斜率公式 (3)求值:计算斜率的值,进行判断尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要 对参数进行讨论 总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1l2;l1与l2斜率都存在时, 满足k1k2 1. 活学活用 已知定点A(1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是 _ 答案: (1,0)或 (2,0) 平行与垂直的综合应用 例 3 已知A(4,3),B(2,5),C(6,3),D( 3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试 判定四边形ABCD的
8、形状 解 由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置,如图所示, 由斜率公式可得kAB 53 24 1 3 ,kCD 03 36 1 3, kAD 03 34 3,kBC 35 62 1 2. 所以kABkCD,由图可知AB与CD不重合, 所以ABCD.由kADkBC,所以AD与BC不平行 又因为kABkAD 1 3(3) 1, 所以ABAD,故四边形ABCD为直角梯形 类题通法 1在顶点确定的情况下,确定多边形形状时,要先画出图形,由图形猜测其形状,为下 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 面证明提供明确目标 2证明两直线平行时,仅有k1k2是不够的,注意排除两直线重合的情况 活学活
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