高中数学第三章3.1.5空间向量运算的坐标表示学案含解析新人教A版选修206.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.5 空间向量运算的坐标表示 提出问题 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石这三个 力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1| 3 000 N, |F2| 2 000 N, |F3| 2 0003 N. 问题 1:若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,巨 石受合力的坐标是什么? 提示:F(3 000,2 000,2 000 3) 问题 2:巨石受到的合力有多大? 提示: |F| 5 000 N. 导入新知 1空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a (a1,a2,a3),b(
2、b1,b2,b3) (1)ab(a1b1,a2b2,a3b3); (2)ab(a1b1,a2b2,a3b3); (3) a( a1, a2, a3)(R); (4)若b0,则ab?a b(R)?a1 b1,a2 b2,a3 b3. 2空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a (a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则 (1)aba1b1a2b2a3b3; (2)|a| aaa 2 1a 2 2a 2 3; (3)cosa,b ab |a|b| a1b1a2b2a3b3 a 2 1a 2 2a 2 3b 2 1b 2 2b 2 3 ; (4)ab?a1b1a2b2a3b30. 3空间中向量
3、的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2) (1)AB (a2a1,b2b1,c2c1); 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)dAB|AB | a2a1 2 b2b1 2 c2c1 2. 化解疑难 1空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广,包括运算法则,仅是在平面 向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算 2空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样,但实质一样, 即对应坐标成比例 3空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似,仅多了一个基向量 空间向量的坐标运算 例 1 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标
4、分别是(2, 1,2), (4,5, 1), (2,2,3) 求 点P的坐标,使: (1)OP 1 2( AB AC ); (2)AP 1 2( AB AC ) 解 AB (2,6, 3), AC (4,3,1), AB AC (6,3, 4) (1)OP 1 2 (6,3, 4) 3, 3 2, 2 , 则点P的坐标为3, 3 2, 2 . (2)设点P的坐标为 (x,y,z), 则AP (x2, y1,z 2), 1 2( AB AC ) AP 3, 3 2 , 2 , x5,y 1 2,z0, 则点P的坐标为5, 1 2, 0 . 类题通法 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
5、向量的有向线段的终点坐标减去起点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 坐标 (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后 进行数量积运算;先算括号里,后算括号外 (3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些计算公式的 应用 活学活用 已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(1,2,1),(1,3,4),(0, 1,4),(2, 1, 2), 设pAB , qCD . 求: (1)p2q; (2)3pq; (3)(pq)(pq) 解:因为A(1,2,1),B(1,3,4),C(0, 1,4),D(2, 1, 2),所以pAB (2,
6、1,3), q CD (2,0, 6) (1)p 2q(2,1,3)2(2,0, 6)(2,1,3)(4,0, 12) (6,1, 9) (2)3pq3(2,1,3)(2,0, 6)(6,3,9)(2,0, 6)(4,3,15) (3)(pq)(pq)p2q2|p| 2| q| 2 (221232)(22 0262) 26. 空间向量的垂直与平行的判断 例 2 已知空间三点A(2,0,2),B( 1,1,2) ,C(3,0,4)设aAB ,bAC . (1)设|c| 3,cBC ,求 c; (2)若kab与ka2b互相垂直,求k. 解 (1)BC (2, 1,2),且cBC , 设c BC (
7、2,2)(R) |c| 2 2 2 2 23| | 3. 解得 1. c(2, 1,2)或c(2,1, 2) (2)aAB (1,1,0) ,bAC (1,0,2), kab (k 1,k,2),ka2b(k 2,k, 4) (kab)(ka2b), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (kab)(ka2b)0, 即(k1,k,2)(k2,k, 4)2k2k100. 解得k2 或k 5 2 . 类题通法 解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标例如,设向量a (x,y,z) (2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数例如,已知ab,则引入参数,有a
8、 b,再转化为方程组求解 (3)选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的 活学活用 已知向量a(1,2, 2),b(2, 4,4),c (2,x, 4) (1)判断a,b的位置关系; (2)若ac,求 |c| ; (3)若bc,求c在a方向上的投影 解: (1)a(1,2, 2),b (2, 4,4), b(2, 4,4) 2(1,2, 2) 2a. ab. (2)ac, 2 1 x 2 4 2,解得 x4, c(2,4, 4), 从而 |c| 2 242 4 26. (3)bc,bc0. (2, 4,4)(2,x, 4) 4 4x160, 解得x 5. c(2, 5, 4) c在a方向上的
9、投影为|c|cos a,c |c| ac |a|c| 1,2, 22, 5, 4 1 222 2 2 2108 3 0. 利用坐标运算解决夹角、距离问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1 中,CACB1,BCA90,棱AA12,N为A1A的中点 (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值 解 如图,以CA , CB ,CC1 为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), |BN | 10 2 01 2 10 2 3, 线段BN的长为3. (2)依题意得A
10、1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), BA1 (1, 1,2), CB1 (0,1,2), BA1 CB1 10(1)1 223. 又 |BA1 | 6,|CB1 | 5, cosBA1 , CB1 BA1 CB1 |BA1 | CB1 | 30 10 . 故A1B与B1C所成角的余弦值为 30 10 . 类题通法 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点,以使各点的坐 标易求利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单 活学活用 在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱 CD
11、上,且CG 1 4CD, H为C1G的中点 (1)求证:EFB1C; (2)求EF与C1G所成角的余弦值; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)求FH的长 解: (1)证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点, 则有E0,0, 1 2 ,F 1 2, 1 2,0,C(0,1,0), C1(0,1,1),B1(1,1,1),G0, 3 4,0 , H0, 7 8, 1 2 . EF 1 2, 1 2, 0 0,0, 1 2 1 2, 1 2, 1 2 , B1C (0,1,0)(1,1,1)(1,0, 1) EF B1C 1 2(1) 1 20 1 2 (1)0, EF
12、B1C ,即 EFB1C. (2)C1G 0, 3 4,0 (0,1,1) 0, 1 4, 1 , |C1G | 17 4 . 又EF C1G 1 20 1 2 1 4 1 2 (1) 3 8,| EF | 3 2 , cosEF , C1G EF C1G |EF | C1G | 51 17 . 即EF与C1G所成角的余弦值为 51 17 . (3)F 1 2, 1 2, 0 , H0, 7 8 , 1 2 , FH 1 2 , 3 8, 1 2 , |FH | 1 2 2 3 8 2 1 2 2 41 8 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5.探究两向量的夹角 典例 已知向量a(
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