高中数学第三章3.1学案含解析新人教A版选修205.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 回归直线方程 教材必修3中学习了回归直线方程y b xa . 问题 1:回归直线方程准确地反映了x,y之间的关系吗? 提示:不是 问题 2:所有的两个相关变量都可以求回归方程吗? 提示:可以,但拟合程度很差 1回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 2回归直线方程 方程y b x a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1,y1),(x2,y2),(xn,yn) 的回归方程,其中a , b 是待定参数,其最小二乘估计分别为: b i 1 n xixyiy i 1 n xi
2、x 2 i 1 n xiyin xy i 1 n x2in x 2 ,a yb x, 其中x 1 n i 1 n xi,y 1 n i 1 n yi,(x,y)称为样本点的中心 线性回归方程中系数b 的含义 (1)b 是回归直线的斜率的估计值,表示 x每增加一个单位,y的平均增加单位数,而不 是增加单位数 (2)当b 0 时,变量y与x具有正的线性相关关系;当b 0 时,变量y与x具有负的线 性相关关系 线性回归分析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 具有相关关系的两个变量的回归直线方程y b xa . 问题 1:预报变量y 与真实值y一样吗? 提示:不一定 问题 2:预报值y 与真实
3、值y之间误差大了好还是小了好? 提示:越小越好 1残差平方和法 (1)e iyiy iyib xia (i1,2, n),称为相应于点(xi,yi)的残差 (2)残差平方和 i1 n (yiy i) 2 越小,模型拟合效果越好 2残差图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,其中这样的带状 区域宽度越窄,说明模型的精确度越高 3利用相关指数R2刻画回归效果 其计算公式为R21 i 1 n yiy i 2 i 1 n yiy 2 , 其几何意义:R 2 越接近于1,表示回归效果越好 1在线性回归模型中,因为e是一个随机变量,所以可以通过其数字特征来刻画它的 一些总体特征
4、 2在线性回归模型中,R 2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R 2 越接近于1, 表示回归的效果越好 求线性回归方程 某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下的对应数据 x/ 百万元24568 y/ 百万元3040605070 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)试预测广告费用支出为10 百万元时,销售额多大? (1)散点图如图所示: (2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. i 12345合计 xi2456825 yi3040605070250 xiyi601603003005601 380 x2i416
5、253664145 所以,x 25 5 5,y 250 5 50, i 1 5 x2i145, i1 5 xiyi1 380. 于是可得b i 1 5 xiyi 5xy i 1 5 x2i5x 2 1 3805 550 145525 6.5, a yb x 506.5517.5. 所以所求的线性回归方程为y 6.5x17.5. (3)根据上面求得的线性回归方程,当广告费用支出为10 百万元时, y 6.51017.582.5(百万元 ), 即广告费用支出为10 百万元时,销售额大约为82.5 百万元 求线性回归方程的步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)列表表示xi,yi,xi
6、yi,x2 i; (2)计算x,y, i1 n x 2 i, i1 n xiyi; (3)代入公式计算a , b 的值; (4)写出线性回归方程. 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据 x 681012 y 2356 (1)请画出上表数据的散点图;(要求:点要描粗) (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y b x a ; (3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9 的同学的判断力 解: (1)如图: (2) i 1 n xiyi628 3105126158, x 6 810 12 4 9, y 2 356 4 4, i1 n x2i
7、628 2102122344, b 158494 344492 14 200.7, a y b x 40.79 2.3, 故线性回归方程为y 0.7 x2.3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)由(2)中线性回归方程当x9 时,y 0.792.34,预测记忆力为 9 的同学的判断 力约为 4. 线性回归分析 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件 )之间的关系有如下一组数据. x/ 元1416182022 y/ 件1210753 求y对x的回归直线方程,并说明回归模型拟合效果的好坏 x 1 5(14 16182022)18, y 1 5(1210 753)7.4, i1 5
8、x 2 i14 2162182202222 1 660, i1 5 xiyi14121610187205223620, b i1 5 xiyi5x y i 1 5 x2i5x 2 6205187.4 1 660 5182 1.15 a yb x 7.41.151828.1, 所求回归直线方程为y 1.15x28.1. 列出残差表 yiy i 00.3 0.40.10.2 yiy4.62.6 0.42.44.4 i 1 5 (yiy i)20.3, i1 5 (yiy )253.2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 R 21 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 0.994
9、, 故回归模型的拟合效果很好 在进行线性回归分析时,要按线性回归分析步骤进行在求R2时,通常采用分步计算 的方法,R2越大,模型的拟合效果越好 关于x与y有如下数据: x 24568 y 3040605070 有如下的两个线性模型:(1)y 6.5x17.5; (2)y 7x17.试比较哪一个拟合效果更好 解:由 (1)可得yiy i与yiy的关系如下表: yiy i 0.53.5106.50.5 yiy 201010020 i 1 5 (yiy i) 2(0.5)2 (3.5)2102(6.5)20.52155, i1 5 (yiy )2(20) 2 (10)2102022021 000.
10、R 2 11 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 1 155 1 000 0.845. 由(2)可得yiy i与yiy 的关系如下表: yiy i 15893 yiy 201010020 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 i 1 5 (yiy i) 2(1)2(5)282( 9)2( 3)2180, i1 5 (yiy )2(20) 2 (10)2102022021 000. R 2 21 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 1 180 1 000 0.82. 由于R 2 10.845,R 2 20.82,0.845 0.82, R 2 1R 2 2. (1
11、)的拟合效果好于(2)的拟合效果 . 非线性回归分析 在一次抽样调查中测得样本的5 个样本点,数值如下表: x 0.250.5124 y 1612521 试建立y与x之间的回归方程 作出变量y与x之间的散点图,如图所示 由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系 设y k x,令 t 1 x,则 ykt. 由y与x的数据表可得y与t的数据表: t 4210.50.25 y 1612521 作出y与t的散点图,如图所示: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由图可知y与t近似地呈线性相关关系 又t1.55,y 7.2, i 1 5 tiyi 94.25, i 1 5 t 2 i21.312
12、5, b i1 5 tiyi5t y i1 5 t2 i5t 2 94.2551.557.2 21.312 5 51.55 2 4.134 4,a y b t 7.24.134 4 1.55 0.8, y 4.134 4 t0.8. 所以y与x的回归方程是y 4.134 4 x 0.8. 非线性回归分析的步骤 非线性回归问题有时并不给出经验公式这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与 学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得 最好的函数,然后采用适当的变量变换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决其 一般步骤为: 某电容器充电后,电压达到100 V
13、,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t 变化的规律用公式UAebt(b 0)表示,现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 t/s012345678910 U/V100755540302015101055 试求:电压U对时间t的回归方程 (提示:对公式两边取自然对数,把问题转化为线 性回归分析问题) 解:对UAebt两边取对数得ln Uln Abt,令yln U,aln A,xt,则yabx, y与x的数据如下表: x 012345678910 y 4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6 根据表中数据画出散点图,如
14、图所示,从图中可以看出, y与x具有较好的线性相关关系,由表中数据求得x5,y 3.045,由公式计算得b 0.313,a yb x4.61,所以y 对x的线性回归方程为y 0.313 x4.61. 所以 ln U 0.313t 4.61,即U e 0.313t 4.61e 0.313te4.61,因此电压 U对时间t的回归 方程为U e 0.313te4.61. 9.明辨相关系数的意义 下列现象的线性相关程度最高的是( ) A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B流通费用率与商业利润率之间的相关系数为0.94 C商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51 D商品销售额与
15、流通费用率之间的相关系数为0.81 |r| 越接近于1,相关程度越高 B 1本题易错误地认为r越接近于1,相关程度越高,从而误选A. 2变量之间线性相关系数r具有如下性质: (1)r2 1,故变量之间线性相关系数r的取值范围为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)|r| 越大,变量之间的线性相关程度越高;|r| 越接近0,变量之间的线性相关程度越 低 (3)当r0 时,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关;当 r0 时,一个变量增加,另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关;当r0 时,称两个 变量线性不相关 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11
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