高中数学第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析新人教A版选修1.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 32.2 复数代数形式的乘除运算 复数的乘法 提出问题 问题 1:两个实数可以相乘,两个复数可以相乘吗? 提示:可以 问题 2:复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗? 提示:类似 问题 3:复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗? 提示:满足 导入新知 1复数的乘法 设z1abi,z2cdi 是任意两个复数, 那么它们的积 (abi)(cdi)acbciadibdi2 (acbd) (adbc)i(a,b,c,dR) 2复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3C,有: 交换律z1z2z2z1 结合律(z1z2)z3z1(z2z3)
2、乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3 化解疑难 对复数乘法的理解 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同, 即必须在所得结果中把i2换成 1, 再把实部、虚部分别合并 (2)两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是 一个复数 复数的除法 提出问题 问题 1:复数z1abi 与z2abi(a,bR)有什么关系? 提示:两复数实部相等,虚部互为相反数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 2:试求z1abi,z2abi(a,bR)的积 提示:z1z2a 2 b2,积为实数 问题 3:如何规定两复数z1abi,z2cdi(a,b,c,
3、dR,cdi0)相除? 提示:通常先把(abi)(cdi)写成 abi cdi的形式,再把分子和分母都乘 (cdi),化简后 可得结果 即 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) (acbd)(bcad)i c 2 d2 acbd c 2 d 2 bcad c2d2 i(cdi 0) 导入新知 1共轭复数的概念 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数通常记复 数z的共轭复数为z,虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 2复数的除法法则 设z1abi,z2cdi(cdi0), 则 z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d
4、2 i(cdi0) 化解疑难 对复数除法的理解 (1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程,这与实数的除法有所不同 (2)复数除法的法则形式复杂,难于记忆所以有关复数的除法运算,只要记住利用分 母的共轭复数对分母进行“实数化”, 然后把结果再写成一个复数abi(a,bR)的形式即可 复数的乘除运算 例 1 计算: (1)(1i)(1i)(1i); (2)1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i); 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)(23i)(12i); (4) 32i 23i 32i 23i. 解 (1)(1i)(1i)( 1i) 1i 2(1i) 21i 1i. (2)
5、1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i) 3 4 3 4 3 4 1 4 i (1i) 3 2 1 2i (1i) 3 2 1 2 1 2 3 2 i 13 2 13 2 i. (3)(23i)(12i) 2 3i 12i (23i)(12i) (12i)(1 2i) (26)(34)i 1222 4 5 7 5i. (4)法一: 32i 23i 3 2i 2 3i (32i)(23i)(32i)(23i) (2 3i)(2 3i) 613i6 613i6 4 9 26i 132i. 法二: 32i 23i 32i 23i i(2 3i) 23i i(23i) 23i ii 2i. 积一
6、时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类题通法 复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用 结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用 公式计算 (2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这 个过程与“分母有理化”类似 活学活用 (1)已知复数z148i,z269i,求复数 (z1z2)i 的实部与虚部 (2)已知z是纯虚数, z 2 1i 是实数,求z. 解: (1)由题意得z1z2(48i)(69i) (4 6)(8i9i) 2i,则 (z1z2)i(2 i
7、)i 2ii212i.于是复数 (z1z2)i 的实部是1,虚部是 2. (2)设纯虚数zbi(bR), 则 z2 1 i b i2 1i (bi2)(1i) (1i)(1i) (b2)(b2)i 2 . 由于 z 2 1 i 是实数,所以b2 0,即b 2,所以z 2i. 共轭复数 例 2 (1)(山东高考 )若复数z 2 1i,其中 i 为虚数单位,则 z( ) A 1i B1i C 1i D 1i (2)(全国丙卷 )若z12i,则 4i z z1 ( ) A 1 B 1 Ci D i 解析 (1)z 2 1i 21i 1 i1i 21i 2 1i,z1i. 积一时之跬步臻千里之遥程 马
8、鸣风萧萧整理 (2)z 12i,则z1 2i,zz(12i)(12i)5,则 4i z z1 4i 4i.故选 C. 答案 (1)B (2)C 类题通法 共轭复数的求解与应用 (1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运 算必要时,需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式,再根据共轭复数的定义求. (2)共轭复数应用的另一种常见题型是:已知关于z和的方程, 而复数z的代数形式未知, 求z.解此类题的常规思路为:设zabi(a,bR),则abi,代入所给等式,利用复数相 等的充要条件,转化为方程(组 )求解 活学活用 已知复数z1i,复数z的共轭复数 1i,求实
9、数a,b使az2b(a2z)2. 解:z1i, 1i, az2b(a2b)(a 2b)i, (a 2z)2(a2)244(a2)i (a 24a )4(a2)i. a,b都是实数, 由az2b (a2z)2,得 a2ba 24a, a2b4(a2), 解得 a 2, b 1 或 a 4, b2. 复数运算的综合应用 例 3 已知z1是虚数,z2z1 1 z1是实数,且 1z21. (1)求|z1| 的值以及z1的实部的取值范围; (2)若 1z1 1z1,求证: 为纯虚数 解 设z1abi(a,bR,且b0) (1)z2z1 1 z1 abi 1 abi a a a 2 b2 b b a 2
10、b2 i. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为z2是实数,b0,于是有a 2 b21,即 |z1| 1,所以z22a. 由 1z2 1,得 12a1,解得 1 2 a 1 2,即 z1的实部的取值范围是 1 2 , 1 2 . (2) 1z1 1z1 1abi 1abi 1a2b22bi (1a)2b2 b a 1i. 因为a 1 2, 1 2 ,b0,所以为纯虚数 类题通法 解决双复数问题的方法 解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数zabi(a,bR),注意题 目对a,b取值的限制, 然后用a,b表示出另外的复数,进而转化求解 此类题目难度较大, 除需正确进行复数
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