高中数学第三章3.21学案含解析新人教A版选修205.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时空间向量与平行、垂直关系 平面的法向量 提出问题 1如图 (1)所示,直线lm,在直线l上取两点A,B,在直线m上取两点C,D. 2如图 (2)所示,直线l平面,直线lm,在直线m上取向量n. 问题 1:AB 与直线l有何关系?CD 与直线 l有何关系? 提示:AB 在直线l上,CD 与直线l平行 问题 2:图 (2)中,n与直线l平行吗? 提示:平行 问题 3:l,向量n也垂直于吗? 提示:垂直 导入新知 1直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量 2平面的法向量 直线l,取直线l的方向向量a,则a叫做平面的法向量 化解
2、疑难 平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量有无数个,它 们是共线向量 . 空间平行关系的向量表示 提出问题 由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置;由平面上一点和平面的法向量也 可以确定平面的位置 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 1:若直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,当au时,l与有什么关系? 若au呢? 提示:au时,l;au时,l或l?. 问题 2:若u,v分别是平面,的法向量,则uv,uv时,分别是什么位置关 系? 提示:uv时,;uv时,. 导入新知 1线线平行 设直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b (a2,
3、b2,c2),则lm?ab?a b?a1 a2,b1 b2,c1 c2(R) 2线面平行 设直线l的方向向量为a(a1,b1,c1),平面的法向量为u(a2,b2,c2),则l?a u?au0?a1a2b1b2c1c2 0. 3面面平行 设平面,的法向量分别为u(a1,b1,c1),v (a2,b2,c2),则?uv?u v?a1 a2,b1 b2,c1 c2(R) 化解疑难 平行关系的判断 (1)若证线线平行,则利用方向向量平行来证明; (2)若证线面平行,则证直线的方向向量与平面的法向量垂直; (3)若证面面平行,则证两平面的法向量平行. 空间垂直关系的向量表示 提出问题 问题 1:直线的
4、方向向量与一平面的法向量平行,则该直线与平面有什么关系? 提示:垂直 问题 2:若两平面的法向量垂直,则两平面垂直吗? 提示:垂直 导入新知 1线线垂直 设直线l的方向向量为a(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b(b1,b2,b3),则lm 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ?ab0?a1b1a2b2a3b30. 2线面垂直 设直线l的方向向量是a(a1,b1,c1),平面的法向量是u(a2,b2,c2),则l?a u?a u?a1 a2,b1 b2,c1 c2(R) 3面面垂直 若平面的法向量u(a1,b1,c1),平面的法向量v(a2,b2,c2),则?uv?uv 0?a1a
5、2b1b2c1c2 0. 化解疑难 垂直关系的证明 (1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直; (2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行; (3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直. 求平面的法向量 例 1 已知平面经过三点A(1,2,3),B(2,0, 1),C(3, 2,0),求平面的一个法 向量 解 因为A(1,2,3),B(2,0, 1),C(3, 2,0), 所以AB (1, 2, 4),AC (2, 4, 3) 设平面的法向量为n(x,y,z), 则有 nAB 0, nAC 0, 即 x2y4z0, 2x4y 3z0, 得z 0,x2y.令y1,则x2, 所以平
6、面的一个法向量为n(2,1,0) 类题通法 利用待定系数法求法向量的解题步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 四边形ABCD是直角梯形,ABC90,SA平面ABCD,SA ABBC2,AD1.在如图所示的坐标系Axyz中,分别求平面SAB和 平面SCD的一个法向量 解:A(0,0,0) ,D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2) AD平面SAB, AD (1,0,0)是平面 SAB的一个法向量 设平面SCD的法向量为n(1,y,z), 则nDC (1,y,z) (1,2,0) 12y0, y 1 2 . 又nDS (1,y,z)(1,0,2) 12z0, z 1
7、 2. n 1, 1 2, 1 2 即为平面SCD的一个法向量. 用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1平面ADE; (2)平面ADE平面B1C1F. 证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2) , 所以FC1 (0,2,1), DA (2,0,0),AE (0,2,1) (1)设n1(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,
8、 则n1DA , n1AE , 即 n1DA 2x 10, n1AE 2y 1z10, 得 x10, z1 2y1. 令z12,则y1 1, 所以n1(0, 1,2) 因为FC1 n1 22 0, 所以FC1 n1. 又因为FC1? 平面ADE, 所以FC1平面ADE. (2)因为C1B1 (2,0,0), 设n2(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量 由n2FC1 , n2C1B1 ,得 n2FC1 2y2z20, n2C1B1 2x20, 得 x20, z2 2y2. 令z22,得y2 1, 所以n2(0, 1,2) 因为n1n2, 所以平面ADE平面B1C1F. 积一时之跬步臻
9、千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类题通法 利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系; (2)通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证 明 活学活用 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB4,AD3,AA12,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1, AB,CC1的中点 求证:PQRS. 证明:法一:以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立 如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则P(3,0,1) ,Q(0,2,2) ,R(3,2,0),S(0,4,1
10、), PQ (3,2,1),RS (3,2,1), PQ RS , PQ RS , PQRS. 法二:RS RC CS 1 2 DC DA 1 2DD 1 , PQ PA1 A1Q 1 2DD 1 1 2 DC DA , RS PQ , RS PQ , RSPQ. 利用空间向量证明垂直问题 例 3 如图, 在四棱锥E-ABCD中,AB平面BCE,CD平面BCE, ABBCCE2CD2,BCE120. 求证:平面ADE平面ABE. 证明 取BE的中点O,连接OC, 则OCEB, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又AB平面BCE, 以点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示 则由已
11、知条件有C(1,0,0),B(0,3,0),E(0,3,0),D(1,0,1), A(0,3,2) 设平面ADE的法向量为n(a,b,c), 则nEA (a,b,c) (0,23,2)23b2c0, nDA (a ,b,c)( 1,3,1)a3bc0. 令b1,则a 0,c3, n(0,1,3) 又AB平面BCE, ABOC,OC平面ABE, 平面ABE的法向量可取为m(1,0,0) nm (0,1,3) (1,0,0) 0, nm, 平面ADE平面ABE. 类题通法 (1)用向量法判定线面垂直,只需直线的方向向量与平面的法向量平行,或直线的方向 向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直 (2)
12、用向量法判定两个平面垂直,只需求出这两个平面的法向量,再看它们的数量积是 否为 0. 活学活用 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC. 证明:设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2) ,E(2,2,1),F(1,1,2) 法一:EF (1, 1,1), AB1 (0,2,2), AC (2,2,0), EF AB1 ( 1, 1,1)(0,2,2)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EF AC (1, 1,1)( 2,2,0) 0, EFAB1,E
13、FAC, 又AB1ACA, EF平面B1AC. 法二:设平面B1AC的法向量为n(x,y,z) 又AB1 (0,2,2), AC (2,2,0), 则 nAB1 , nAC ? nAB1 2y2z0, nAC 2x 2y0. 令x1,可得平面B1AC的一个法向量为n(1,1, 1) 又EF n, EF n, EF平面B1AC. 6.空间中平行与垂直关系的探索性问题 典例 (12分 )在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P, 使得平面A1B1P平面C1DE. 解题流程 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-A
14、BCD中,ADBC,ABC90,PD平面 ABCD, AD1,AB3,BC4. (1)求证:BDPC; (2)设点E在棱PC上,PE PC ,若DE平面PAB,求的值 解:如图,在平面ABCD内过点D作直线DFAB,交BC于点F,以D为坐标原点, DA,DF,DP所 在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则A(1,0,0),B(1,3,0),D(0,0,0),C(3,3, 0) (1)证明:设PDa,则P(0,0,a),BD (1,3,0), PC (3,3,a),BD PC 33 0,BDPC. (2)由题意知,AB (0,3,
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