高中数学第三章3.2复数的四则运算第二课时复数的乘方与除法运算教学案苏教版选修75.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时复数的乘方与除法运算 问题 1:在实数中,若abc(a0),则b c a.反之,若 b c a ,则abc.那么在复数 集中,若z1z2z3,有z1 z3 z2(z 2 0)成立吗? 提示:成立 问题 2:若复数z1abi,z2cdi(a,b,c,d R,cdi0),则 z1 z2如何运算? 提示:通常先把(abi)(cdi)写成 abi cdi的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数 cdi,化简后可得结果,即 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 acbd c 2 d 2 bcad c2d2 i(cdi
2、 0) 对任意复数z,z1,z2和m,nN *,有 (z)m(z)n(z)mn; (zm)nzmn; (z1z2)nzn 1z n 2. 2虚数单位in(nN *)的周期性 i4n1,i 4n 1i,i4n 2 1,i4n 3 i. 3复数的除法运算及法则 把满足 (cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x,yR)叫做复数abi 除以复数c di 的商且xyi abi cdi abicdi cdicdi acbd c2d2 bcad c2d2 i. 由 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c 2d2 acbd c 2 d 2 bcad c 2 d 2i,
3、可以看出 复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P41 虚数单位i 的幂的周期性 例 1 求 1ii2 i2 014的值 思路点拨 利用 in的性质计算, i4n1,i4n1i,i 4n2 1,i4n 3 i,还可以利用等 比数列求和来解 精解详析 法一: 1ii 2 i2 014 1i 2 015 1i 1i2 014i 1i 1i 1ii. 法二: inin1in 2 in 30(nN *), 1ii2 i2 014 1(ii2i3i4)(i5i6 i7i8) (i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 0
4、13i2 014 1i1 i. 一点通 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用, i 的周期性要记熟,即in i n 1in2in30(nN*) 1若z 1i 2 ,则z2 014z102_. 解析:z2 1i 2 2 i, z2 014z102 (i)1 007(i)51 (i)1 004(i)3( i)48(i)3 ii 2i. 答案: 2i 2设z1i4i5i6 i12,z2i4i5i6 i 12,则 z1与z2的关系为z1_z2(用 “”或“”填) 解析:z1 i41 i9 1i i41i 1 i 1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 z2 i4 56 12i 412
5、9 2 i 72(i4)181, z1z2. 答案: 复数的除法 例 2 计算: (1) i 23 123i (5i2) 1i 2 2; (2) 22i 3 45i 54i1i . 思路点拨 解答较为复杂的复数相乘、除时, 一个方面要利用复数乘、除的运算法则、 运算律,另一方面要注意观察式子中数据的特点,利用题目中数据的特点简化运算 精解详析 (1)原式 123ii 1 23i (5i2) 1i 2 2i51ii 4i 4. (2)原式 221i 3 54ii 54i1i 221i 4i 1 i1i 221i 22i 2 2(2i)2i 42i. 一点通 复数的除法就是分子,分母同乘以分母的共
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