高中数学第三章3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1学案含解析新人教A版必修0.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 33.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离 第一课时两条直线的交点坐标两点间的距离 两条直线的交点坐标 提出问题 已知二元一次方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20. 问题 1:二元一次方程组的解法有哪些? 提示:代入消元法、加减消元法 问题 2:在方程组中,每一个方程都可表示为一直线,那么方程组的解说明什么? 提示:两直线的公共部分,即交点 问题 3:若给出两直线yx1 与y3x2,如何求其交点坐标? 提示:联立解方程组求方程组的解即可得 导入新知 1两直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示 点A A(a,b) 直线l l:
2、AxByC0 点A在直线l上AaBbC0 直线l1与l2的交点是A 方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解是 xa, yb 2两直线的位置关系 方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解 一组无数组无解 直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直线l1与l2的位置关系相交重合平行 化解疑难 两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解 时,两直线相交 (2)设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则l1与l2相交的条件是A1B2A2B10 或 A1 A2 B
3、1 B2(A 2,B20) (3)设两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,则l1与l2相交 ?k1k2. 两点间的距离 提出问题 数轴上已知两点A,B. 问题 1:如何求A,B两点间的距离? 提示: |AB| |xAxB|. 问题 2:在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离? 提示:可以,构造直角三角形利用勾股定理求解 导入新知 两点间的距离公式 (1)公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2| x1x2 2 y1y2 2. (2)文字叙述:平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术 平方根 化解疑难 两点间距离
4、公式的理解 (1) 此 公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关 , 也 就 是 说 公 式 也 可 写 成 |P1P2| x2x1 2 y2y1 2. (2)当直线P1P2平行于x轴时, |P1P2| |x2x1|. 当直线P1P2平行于y轴时, |P1P2| |y2y1|. 当点P1,P2中有一个是原点时,|P1P2| x2y2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 两条直线的交点问题 例 1 判断下列各组直线的位置关系如果相交,求出交点的坐标 (1)l1:5x4y20,l2: 2xy20; (2)l1:2x6y30,l2:y 1 3x 1 2; (3)l1:2x6y0,l2:
5、y 1 3x 1 2. 解 (1)解方程组 5x 4y2 0, 2xy20, 得 x 10 3 , y 14 3 . 所以l1与l2相交,且交点坐标为 10 3 , 14 3 . (2)解方程组 2x6y30, y 1 3x 1 2, 6 整理得 2x6y30. 因此,和可以化成同一个方程,即和表示同一条直线,l1与l2重合 (3)解方程组 2x6y0, y 1 3x 1 2, 6得 30,矛盾 方程组无解,所以两直线无公共点,l1l2. 类题通法 判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况 (1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变
6、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 量的值 (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论 (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系 活学活用 直线ykx 3与直线y 1 kx5 的交点在直线 yx上,求k的值 解:由题意可知,三条直线ykx3,y 1 kx5,y x交于一点由 ykx3, yx, 得x y 3 1k,代入 y 1 kx5,得 3 1k 1 k 3 1k 5,解得 k 1或k 3 5.因为直线 ykx3 与直 线y 1 kx5 相交,所以 k 1 k,即 k1,故k 3 5. 直线恒过定点问题 例 2 求证:不论m为何实数,直线(m1)x(2m1)ym5 都过某一定点
7、 解 证明:法一:取m1 时,直线方程为y 4;取m 1 2时,直线方程为 x9. 两直线的交点为P(9, 4),将点P的坐标代入原方程左边(m1)9(2m1)(4) m5. 故不论m取何实数,点P(9, 4)总在直线 (m1)x (2m 1)ym5 上,即直线恒过点 P(9, 4) 法二:原方程化为(x2y1)m(xy5)0. 若对任意m都成立, 则有 x 2y1 0, xy50, 得 x 9, y 4. 所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9, 4) 类题通法 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条 直线的交点就
8、是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解 (2)方法二: 含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中是参数, 这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 解 得若整理成yy0k(xx0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0) 活学活用 求过两直线2x3y30 和xy 20 的交点且与直线3xy10平行的直线方程 解:法一:设所求直线为l,因为直线l过已知两直线的交点,因此直线l的方程可设为 2x3y3(xy2)0(其中为常数 ),即 ( 2)x(3)y23
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