高中数学第三章3.2第3课时空间向量与空间角距离优化练习新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 3 课时 空间向量与空间角、距离 课时作业 A 组基础巩固 1在矩形ABCD中,AB1,BC2,PA平面ABCD,PA1,则PC与平面ABCD所 成角是 ( ) A30B 45C60D90 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1) ,C(1,2,0),PC (1,2, 1), 平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1), 所以 cosPC ,n PC n |PC | |n| 1 2 , 所以PC ,n 120, 所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60, 所以PC与平面ABCD所成角为 30,故选 A. 答案: A 2在
2、长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成角分别为60和 45,则异面直 线B1C和C1D所成角的余弦值为( ) A. 6 4 B 10 4 C. 3 2 D. 3 4 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,可知CB1C160, DC1D145, 设B1C11,CC13DD1. C1D13,则有 B1(3,0,0,),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3) B1C (0,1,3), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C1D (3, 0,3) cosB1C ,C1D B1C C1D |B1C |C1D | 3 26 6 4 . 答案: A 3已知直二面角-
3、l-,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足若AB2, ACBD1,则D到平面ABC的距离等于 ( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 6 3 D1 解析:平面平面,且ACl,BDl,故AC平面,BD平面,依题意建立坐标 系如图所示,在RtACD中,可得CD2,故A(0,0,1),B(1,2,0),C(0,0,0),D(0, 2,0), 则CA (0,0,1),CB (1,2,0),CD (0,2,0) 设平面ABC的一个法向量为n (x,y,z), 则 nCA 0, nCB 0 ?x2y,z0, 令y1,可得n(2, 1,0), 故所求距离d |CD n| |n| 2 3 6 3 .
4、故选 C. 答案: C 4.如图所示, 直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AA1ABAC, ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直 线PQ与AM所成的角为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:以A为坐标原点,AC,AB,AA1所在直线为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 设AA1ABAC2, 则AM (2,0,1),Q(1,1,0),P(0,1,2) ,QP (1,0,2), 所以QP AM 0, 所以QP与AM所成角为 2. 答案: D 5已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1
5、中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1 2AB2,则B(1,1,0) , C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故DB (1,1,0) ,DC1 (0,1,2),DC (0,1,0) 设 平面BDC1的法向量为n(x,y,z),则 nDB 0, nDC1 0, 即 xy 0, y2z0, 令z1,则y 2,x2,所以平面BDC1的一个法向量为n(2, 2,1)设直线CD与平 面BDC1所成的角为, 则 sin |cos n,DC | nDC |n|
6、|DC | 2 3 ,故选 A. 答案: A 6设A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,1,1) ,D(1,1,1),则直线AD与平面ABC的夹角为 _ 解析:设平面ABC的法向量n (x,y,z) nAB 0,nAC 0, 所以 x,y,z0,0,10, x,y,z1,1,10, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 z0, xyz0, z0, yx. 令x1,则n(1,1,0), cosn,AD 101101 22 1 2, AD ,n 3. 直线AD与平面ABC的夹角 2 3 6. 答案: 6 7 在空间中, 已知平面过点 (3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点 (0,
7、0,a)(a0), 如果平面与平面xOy 的夹角为45,则a _. 解析:设平面的法向量为n1(x,y,z), 记A(3,0,0) ,B(0,4,0), C(0,0,a)(a 0),则AB (3,4,0),AC ( 3,0,a) 由题意知 n1AB 0, n1AC 0, 即 3x4y0, 3xaz0, 取z3 得 xa, y 3a 4 , n1(a, 3a 4 ,3),而n2(0,0,1)是平面xOy的一个法向量, 则 cosn1,n2 n1n2 |n1|n2| 3 9 25 16 a 2 1 2 2 ,又a0,解得a 12 5 . 答案: 12 5 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
8、8已知矩形ABCD中,AB1,BC3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC 与ACD垂直则B与D之间的距离为_ 解析:由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,则可求得AM 1 2, BM 3 2 ,CN 1 2, DN 3 2 . MN1.由于BD BM MN ND , |BD | 2 (BM MN ND )2|BM | 2| MN | 2| ND | 2 2(BM MN MN ND BM ND ) 3 2 212 3 2 2 2(000) 5 2 , |BD | 10 2 . 答案: 10 2 9.如图所示,已知在四面体ABCD中,O为BD的中点,CACBCD BD2,ABAD2
9、, (1)求证:AO平面BCD; (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值 解析: (1)证明:因为BODO,ABAD,所以AOBD. 因为BODO,BCCD, 所以COBD. 在AOC中,由已知可得AO1,CO3,而AC2,所以AO 2CO2 AC 2, 所以AOC90,即AOOC.因为BDOCO,所以AO平面BCD. (2)以O为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(1,0,0), C(0,3,0),A(0, 0,1),BA ( 1,0,1), CD ( 1,3,0),所以 cosBA ,CD BA CD |BA |CD | 2 4 ,所以异面 直线AB与CD所
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