高中数学第三章3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学案含解析新人教A版.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 33.3 & 3.3.4 点到直线的距离两条平行直线间的距离 点到直线的距离两条平行直线间的距离 提出问题 在铁路的附近, 有一大型仓库, 现要修建一条公路与之连接起来,易知, 从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l,仓库看作 点P. 问题 1:若已知直线l的方程和点P的坐标 (x0,y0),如何求P到直线l的距离? 提示:过点P作直线ll,垂足为Q,|PQ| 即为所求,直线l的斜率为k,则l的斜 率为 1 k, l的方程为yy0 1 k(x x0),联立l,l的方程组,解出Q点坐标,利用两点间距离 公式求出 |PQ|. 问题 2:平
2、面直角坐标系中,若P(x0,y0),则P到x轴、y轴的距离分别是多少? 提示: |y0| , |x0|. 问题 3:在直角坐标系中,若P(x0,y0),则P到直线l:AxByC0 的距离是不是过点 P到直线l的垂线段的长度? 提示:是 问题 4:若过P(x0,y0)的直线l与l:AxByC0 平行,那么点P到l的距离与l与 l的距离相等吗? 提示:相等 导入新知 点到直线的距离与两条平行直线间的距离 点到直线的距离两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0 的 距离d |Ax0By0C| A 2 B2 两条
3、平行直线l1:AxByC10 与l2: AxByC20(C1C2)之间的距离d 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |C1C2| A 2 B2 化解疑难 1点到直线的距离公式需注意的问题 直线方程应为一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式例如,求P0(x0,y0) 到直线ykxb的距离,应先把直线方程化为kxyb0,得d |kx0y0b| k21 . 2点到几种特殊直线的距离 (1)点P0(x0,y0)到x轴的距离d|y0| ; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d |x0| ; (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线yb(b0)的距离d|y0b| ; (4)点P(x0,y
4、0)到与y轴平行的直线xa(a0)的距离d|x0a|. 3对平行直线间的距离公式的理解 (1)利用公式求平行直线间的距离时,两直线方程必须是一般式,且x,y的系数对应相等 (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解决 两直线都与x轴垂直时,l1:xx1,l2:xx2,则d|x2x1| ; 两直线都与y轴垂直时,l1:yy1,l2:yy2,则d |y2y1|. 点到直线的距离 例 1 求点P(3, 2)到下列直线的距离:(1)y 3 4x 1 4;(2)y6; (3)x 4. 解 (1)直线y 3 4x 1 4化为一般式为 3x 4y10, 由点到直线的距离公式可得d |3 34
5、2 1| 324 2 18 5 . (2)因为直线y6 与y轴垂直,所以点P到它的距离d| 26| 8. (3)因为直线x4 与x轴垂直,所以点P到它的距离d|3 4| 1. 类题通法 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用 (3)直线方程AxByC0 中,A0 或B0 公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐 标轴垂直 ),故也可用数形结合求解 活学活用 1已知点A(a,2)(a0)到直线l:xy30 的距离为1,则a等于 ( ) A.2 B
6、22 C.21 D.21 答案: C 2已知原点和点P(4, 1)到直线axa2y6 0的距离相等,求实数a的值 解:利用点到直线的距离公式得 6 a 2 a 4 |4aa 26| a2a 4 , 于是a 2 4a6 6,且 a 2 a 4 0, a24a0 或a 2 4a 120,且a 2 a 40, a 2 或a4 或a6. 两条平行直线间的距离 例 2 求与直线l:5x12y60平行且到l的距离为2 的直线方程 解 法一:设所求直线的方程为5x12yC0. 在直线 5x12y60 上取一点P00, 1 2 , 则点P0到直线 5x12yC0 的距离为 12 1 2 C 5 2 12 2
7、|C6| 13 , 由题意,得 |C6| 13 2, 所以C 32,或C 20. 故所求直线的方程为5x12y 320,或 5x12y200. 法二:设所求直线的方程为5x12yC0, 由两条平行直线间的距离公式得2 |C6| 5212 2, 解得C 32,或C 20. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故所求直线的方程为5x12y 320,或 5x12y200. 类题通法 求两条平行直线间的距离,一般是直接利用两条平行直线间的距离公式,当直线l1:y kxb1,l2:ykxb2,且b1b2时,d |b1b2| k21 ;当直线l1:AxByC10,l2:AxBy C20,且C1C2时
8、,d |C1C2| A2B2 .但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等 活学活用 两直线 3xy30 和 6xmy10 平行,则它们之间的距离为_ 答案: 10 4 距离的综合应用 例 3 求经过点P(1,2),且使A(2,3),B(0, 5)到它的距离相等的直线l的方程 解 法一:当直线斜率不存在时,即x1,显然符合题意当直线斜率存在时,设所求 直线的斜率为k,则直线方程为y2k(x 1) 由条件得 |2k3k2| k2 1 |5 k2| k21 ,解得k 4, 故所求直线方程为x1 或 4xy20. 法二:由平面几何知识知lAB或l过线段AB的中点 直线AB的斜率kAB4, 若lAB,
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