《高中数学第三章3.3复数的几何意义教学案苏教版选修79.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章3.3复数的几何意义教学案苏教版选修79.pdf(10页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 33 复数的几何意义 对应学生用书P43 复平面的定义 问题 1:平面向量可以用坐标表示,试想复数能用坐标表示吗? 提示:可以 问题 2:试说明理由 提示:因复数zabi(a,bR)与有序实数对(a,b)惟一确定,由 (a,b)与平面直角坐标 系点一一对应,从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数 . 复数的几何意义 已知复数zabi(a,bR) 问题 1:在复平面内作出复数z所对应的点Z. 提示:如图所示 问题 2:
2、向量 OZ uuu r 和点Z有何关系? 提示:有一一对应关系 问题 3:复数zabi 与 OZ uuu r 有何关系? 提示:也是一一对应 1复数与点,向量间的对应关系 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2复数的模 复数zabi(a,bR)对应的向量为OZ uuu r ,则 OZ uuu r 的模叫做复数z的模 (或绝对值 ),记作 |z| ,且 |z| |abi| a 2 b 2. 复数加减法的几何意义 如图 1 OZ uuur 、 2 OZ uuu u r 分别与复数abi, cdi 对应 问题 1:试写出 1 OZ uuur 、 2 OZ uuu u r 及 1 OZ uuur
3、 2 OZ uuu u r 、 1 OZ uuur 2 OZ uuu u r 的坐标 提示: 1 OZ uuur (a,b), 2 OZ uuuu r (c,d), 1 OZ uuu r 2 OZ uuuu r (ac,bd), 1 OZ uuu r 2 OZ uuu u r (ac,bd) 问题 2:向量 1 OZ uuur 2 OZ uuu u r 及 1 OZ uuur 2 OZ uuu u r 所对应的复数分别是什么? 提示: (ac)(bd)i 及 (ac) (bd)i. 1复数加法的几何意义 设向量 1 OZ uuur , 2 OZ uuu u r 分别与复数z1abi,z2cdi
4、 对应,且 1 OZ uuu r 和 2 OZ uuuu r 不共线如图,以 1 OZ uuu r , 2 OZ uuu u r 为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,则其对角线OZ 所表示的向量OZ uuu r OZ uu u r 就是复数 (ac)(bd)i 对应的向量 2复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算,设 1 OZ uuu r , 2 OZ uuuu r 分别与复数abi,cdi 相对应,且 1 OZ uuur , 2 OZ uuuu r 不共线,如图 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则这两个复数的差z1z2与向量 1 OZ uuur 2 OZ uuuu r (等于 2
5、1 Z Z uuuu r )对应,这就是复数减法的几何 意义 3设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则 |z1z2| ac 2 bd 2,即 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 1复平面上点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部 2表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都表示实数,它们是一一对应的;表示纯虚 数的点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数,如原点表示实数0. 3在平面向量中,向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同 的 对应学生用书P44 复数的几何意义 例 1 实数x分别取什么值时,复数zx2x6 (x22x15)i 对
6、应的点Z在下列位 置? (1)第三象限; (2)第四象限; (3)直线xy 30 上? 思路点拨 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解若已知复数zabi(a,b R),则当a0 且b0, m23m285, 70, 复数z在复平面内对应的点在第二象限内 7在复平面内,点A、B、C分别对应复数z11i,z25i,z333i.以AB、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长 解:如图,由复数加减法的几何意义, AD uuu r AB uu u r AC uuu r , 即z4z1(z2z1)(z3z1) 所以z4z2z3z173i. |AD| |z4z1| |(7 3i
7、)(1 i)| |6 2i| 210. 1复数模的几何意义 复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解 决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)复数zabi(a,bR)的对应点的坐标为(a,b),而不是 (a,bi); (2)复数zabi(a,bR)的对应向量OZ uuu r 是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应, 因为复平面上与OZ uuu r 相等的向量有无数个 2复数的模 (1)复数zabi(a,bR)的模 |z| a2b2; (2)从几何意义上理解,表示点Z和原点
8、间的距离,类比向量的模可进一步引申:|z1 z2| 表示点Z1和点Z2之间的距离 对应学生用书P45 一、填空题 1若 OA uur 、 OB uuu r 对应的复数分别是7 i,32i,则 | AB uuu r | _. 解析: OA uur (7,1), OB uu u r (3, 2), AB uuu r OB uu u r OA uur ( 4, 3), | AB uu u r | 5. 答案: 5 2(重庆高考改编 )复平面内表示复数i(12i)的点位于第 _象限 解析: i(12i) 2i 对应的点为 (2,1),位于第一象限 答案:一 3若z|z| 28i,则z_. 解析:法一:
9、设zabi(a,bR), 则|z| a 2 b2, 代入方程得abia 2b228i. 所以 aa 2 b22, b8, 解得 a 15, b 8, 所以z 158i. 法二:原式可化为z2|z| 8i, |z| R, 2|z| 是z的实部 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是 |z| 2 |z| 282,即 | z| 2684| z| |z| 2, |z| 17. 代入z2|z| 8i,得z 158i. 答案: 158i 4已知z12 i,z23ai(aR),若z1z2所对应的点在实轴上,则a_. 解析:z1z22i3ai 5(a1)i, 由z1z2所对应的点在实轴上可知a 10,
10、即a 1. 答案: 1 5(新课标全国卷改编)设z 1 1ii,则 | z| _. 解析: 1 1ii 1i 1i1i i 1i 2 i 1 2 1 2 i,则 |z| 1 2 2 1 2 2 2 2 . 答案: 2 2 二、解答题 6若复数z(m2m2)(4m 28m 3)i(mR)的共轭复数 z对应的点在第一象限, 求实数m的集合 解:由题意得z(m2m2)(4m 28m 3)i, z对应的点位于第一象限, 所以有 m2m20, 4m28m30, 所以 m2m20, 4m28m31, 1 2 m 3 2 , 即 1m 3 2,故所求 m的集合为m1m 3 2 . 7在复平面内A,B,C三点
11、对应的复数分别为1,2i, 12i. (1)求 AB uu u r , BC uuu r , AC uuu r 对应的复数; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)判断ABC的形状; (3)求ABC的面积 解: (1)AB uuu r 对应的复数为zBzA(2i)11 i. BC uuu r 对应的复数为zCzB(12i)(2i) 3i. AC uuu r 对应的复数为zCzA( 12i)1 22i. (2)由(1)知| AB uu u r | |1 i| 2, | BC uuu r | | 3i| 10,| AC uuu r | | 22i| 22, | AB uu u r | 2| AC uuu r | 2| BC uuu r | 2. 故ABC为直角三角形 (3)SABC 1 2| AB uuu r | | AC uuu r | 1 2 2222. 8若zC 且 |z22i| 1,求 |z22i| 的最小值 解:已知 |z( 22i)| 1 中,z的对应点轨迹是以( 2,2)为圆心, 1 为半径的圆, |z (2 2i)| 表示圆上的点与点(2,2)之间的距离,最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径,易得值为3
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