高中数学第三章3.4曲线与方程教学案北师大版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 曲线与方程 41 曲线与方程 对应学生用书P60 在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中 问题 1:直线yx上任一点M到两坐标轴距离相等吗? 提示:相等 问题 2:到两坐标轴距离相等的点都在直线yx上吗? 提示:不一定 问题 3:到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么? 提示:yx. 方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作方程的曲
2、线,这个方 程叫作曲线的方程 判断方程是否是曲线的方程,要从两方面考虑,一是检验点的坐标是否都适合方程,二 是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 对应学生用书P61 曲线与方程的概念的理解 例 1 (1)判断点A(4,3),B(32, 4),C(5,25)是否在方程x2y225(x0) 所表示的曲线上; (2)方程x2(x2 1)y2(y 21)所表示的曲线是 C,若点M(m,2)与点N 3 2 ,n 在曲线C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 上,求m,n的值 思路点拨 由曲线与方程的关系知,只要点M的坐标适合曲线的方程,则点M就在 方程所表示的曲线上;而若点M为曲线上的点, 则
3、点M的坐标 (x0,y0)一定适合曲线的方程 精解详析 (1)把点A(4,3)的坐标代入方程x2y225 中,满足方程,且点A的横坐 标满足x0,则点A在方程x2y 225(x0)所表示的曲线上; 把点B( 32, 4)的坐标代入x2y225,因为 (32)2(4)2 3425,所以点B 不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上 把点C(5,25)的坐标代入x2y225,得 (5)2(25)225,满足方程,但因为横 坐标5不满足x 0的条件,所以点C不在方程x2y2 25(x0)所表示的曲线上 (2)因为点M(m,2),N 3 2 ,n在曲线C上,所以它们的坐标都是方程的解,所以 m2(m
4、21)21, 3 4 1 4 n2(n 21),解得 m2,n 1 2或 3 2 . 一点通 1判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手 (1)要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点的坐标是否满足方程即可; (2)若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲线的方程,由此可求点或方程中的 参数 2判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否都适合方 程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 1 “点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y 2x”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析:点M在曲线y24x上,若点
5、M(x0,y0),则y204x0,不能得出y0 2x0;若点 M(x0,y0)满足方程y 2x,则y0 2x0,y204x0,故为必要不充分条件 答案: B 2判断下列结论的正误,并说明理由 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x0; (2)到x轴距离为2 的点的轨迹方程为y 2; (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1 的点的轨迹方程为xy1; (4)ABC的顶点A(0, 3),B(1,0),C(1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x 0. 解: (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x3, 结论不正确 (2)到x轴距离为2 的
6、点的轨迹方程是y 2, 结论错误 (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1 的点的轨迹方程应为|x| |y| 1,即xy 1,结 论错误 (4)中线AD是一条线段,而不是直线,应为x0(3y0), 结论错误 . 由方程确定曲线 例 2 (1)方程 (xy 1)x10 表示什么曲线? (2)方程 2x2y24x2y30 表示什么曲线? 思路点拨 由曲线的方程研究曲线的特点,类似于用函数的解析式研究函数的图像, 可由方程的特点入手分析 精解详析 (1)由方程 (xy1)x1 0可得: x1 0, xy10, 或x10, 即xy10(x 1)或x 1, 方程表示直线x1 和射线xy10(x1), (2)方
7、程的左边配方得2(x1)2(y1)20, 而 2(x 1) 20,(y 1) 20, 2x1 20, y1 20, x1, y 1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 方程表示的图形为点A(1, 1) 一点通 曲线的方程是曲线的代数体现,判断方程表示什么曲线,可根据方程的特点利用配方、 因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时, 应保证变形过程 的等价性 3方程 |x| |y| 1 表示的曲线是 ( ) 解析:原方程可化为 x0,y0, xy1, 或 x0,y 0, xy1, 或 x0,y0, xy 1, 或 x0,y 0, xy1. 作出其曲线为D. 答案:
8、D 4方程 4x2y24x 2y0 表示的曲线是 ( ) A一个点 B两条互相平行的直线 C两条互相垂直的直线 D两条相交但不垂直的直线 解析: 4x2y24x2y0, (2x1)2 (y 1) 20, 2x1 (y1), 2xy 0或 2xy20,这两条直线相交但不垂直 答案: D 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5方程1|x| 1y表示的曲线为 ( ) A两条线段B两条直线 C两条射线D一条射线和一条线段 解析:由已知得1 |x| 1y,1y0,1 |x| 0. 有y|x| , |x| 1. 曲线表示两条线段,故选A. 答案: A 求曲线的方程 例 3 如图已知F(1,0),直线
9、l:x 1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足 为Q,且QP uuu r QF uuu r FP uuu r FQ uuu r ,求动点P的轨迹方程 思路点拨 本题可设出P(x,y),则Q(1,y)然后由QP uuu r QF uuu r FP uuu r FQ uuu r 得出 P(x,y)满足的关系式,整理后即可得P的轨迹方程 精解详析 设点P(x,y),则Q(1,y),QP uuu r (x1,0),QF uuu r (2,y),FP uuu r (x 1,y),FQ uuu r (2,y), 由QP uuu r QF uuu r FP uuu r FQ uuu r , (x1,0
10、) (2,y)(x1,y)(2,y), 2x2 2x2y 2,即动点 P的轨迹方程为y24x. 一点通 1求曲线方程的基本思路是:建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法 )在解 题时, 根据题意,正确列出方程是关键,还要注意最后一步,如果有不符合题意的特殊点要 加以说明一般情况下,求出曲线方程后的证明可以省去 2直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法 6已知定点A( 1,0),B(1,0),动点P满足直线PA,PB的斜率之积为1,则动点P 满足的方程是 ( ) Ax2y21 Bx2y21(x 1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Cx2y21(x0) Dy1x2(x 1)
11、解析:设动点P的坐标为 (x,y),则kPA y x1 (x 1), kPB y x1(x1) kPAkPB 1, y x1 y x1 1,整理得 x2y 21(x 1) 答案: B 7已知ABC的两个顶点A(2,0),B(0, 2),第三个顶点C在曲线y3x21 上移 动,求ABC的重心G的轨迹方程 解:设ABC的重心G(x,y),C(x0,y0), 则 xx 02 3 , y y02 3 , 即 x03x2, y03y2. 点C在y3x21 上, y03x201,即 3y 23(3x2)2 1. 整理得y9x2 12x3. ABC的重心G的轨迹方程为y9x2 12x3. 8等腰三角形ABC
12、中,若一腰的两个端点分别为A(4,2),B(2,0),A为顶点,求另一 腰的一个端点C的轨迹方程 解:设点C的坐标为 (x,y), ABC为等腰三角形,且A为顶点, |AB| |AC| 又 |AB| 4 2 2222 10, |AC| x4 2 y2 22 10, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x4) 2(y2)240. 又点C不能与B重合,也不能使A、B、C三点共线, x 2且x 10, 点C的轨迹方程为 (x 4) 2(y2)240(x 2 且 x10) 1理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意: (1)曲线上点的坐标都是方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上
13、2求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称 性的原则, 即借助图形中互相垂直的直线建系,借助图形的对称性建系一方面让尽量多的 点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁 对应课时跟踪训练二十 1下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) Ay2x与yx Bylg x2与y2lg x C.y 1 x21 与 lg(y1)lg(x2) Dx2y21 与 |y| 1x2 解析:考察每一组曲线方程中x和y的取值范围,不难发现A,B,C 中各对曲线的x 与y的取值范围不一致 答案: D 2已知两定点A( 2,0),B(1,0),如果动点P满足 |PA| 2|PB|
14、,则点P满足的方程的 曲线所围成的图形的面积为( ) AB4 C8D9 解析:设P为 (x,y),由 |PA| 2|PB| ,得x2 2y22 x1 2y2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即(x2) 2 y24,点P满足的方程的曲线是以2 为半径的圆,其面积为4 . 答案: B 3方程x2xyx的曲线是 ( ) A一个点B一个点和一条直线 C一条直线D两条直线 解析:x2xyx,即x2xyx0, x(xy1)0,x0 或xy1 0. 故方程表示两条直线 答案: D 4已知点A(0, 1),点B是抛物线y2x21 上的一动点,则线段AB的中点M满足 的方程为 ( ) Ay2x2By
15、4x2 Cy6x2Dy 8x2 解析:设B(x0,y0),M(x,y) M是AB的中点, x x00 2 ,y y01 2 ,得x02x,y02y1. 又B(x0,y0)在抛物线y2x21 上,y02x201, 即 2y12(2x)2 1,因此y 4x2,故M满足的方程为y 4x2. 答案: B 5在ABC中,已知A(2,0),B(1,2),点C在直线 2xy30 上移动则ABC的 重心G满足的方程为_ 解析:设ABC的重心G的坐标为 (x,y),点C的坐标为 (x0,y0),则 x 21x0 3 , y 02y0 3 , x03x1, y0 3y2, 点C在直线 2xy30 上,故有6x3y
16、70, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又重心G不在AB上,故x 3 4, y 5 6, 重心G满足的方程为6x3y70(x 3 4) 答案: 6x3y70(x 3 4) 6方程 x2 4k y 2 k11 表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 曲线C不可能是圆; 若 14; 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则14,故命题正确; 若曲线C 表示焦点在x轴上的椭圆,则4kk10,解得 10), 则M(x,0),P(0, y 2), PM uuur (x, y 2 ), PF uuu r (1, y 2) 又PM uuur PF uuu r ,故PM uuur PF uuu r 0, 即
17、x y 2 4 0, y24x(x0) 即N点的轨迹C的方程为y 24x(x0) 42 & 4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 对应学生用书P63 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线x a 2 c 的距离比是常数e. 问题 1:若F(4,0),l:x 25 4 ,e 4 5,则点 M的轨迹方程是什么?轨迹呢? 提示: x2 25 y2 9 1,椭圆 问题 2:若F(5,0),l:x 16 5 ,e 5 4,则点 M的轨迹方程是什么?轨迹呢? 提示: x2 16 y2 9 1,双曲线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 圆锥曲线的共
18、同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e. 当 01 时,圆锥曲线是双曲线; 当e 1时,圆锥曲线是抛物线 直线与圆锥曲线的交点 问题 1:若直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切正确吗? 提示:正确 问题 2:若直线与抛物线有一个公共点,则直线与抛物线一定相切吗? 提示:不一定当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个交点 问题 3:过 (2,0)点能作几条直线和双曲线 x2 4 y 2 3 1仅有一个交点? 提示: 3 条 曲线的交点 设曲线C1:f(x,y)0,C2:g(x,y)0,曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方 程组 fx,y0, gx,y0
19、. 反过来,该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交 点的坐标 1椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数 e. 2直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的 基本方法 对应学生用书P63 圆锥曲线共同特征的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 曲线上的点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l:x 16 5 的距离之比是常数 5 4, (1)求此曲线方程;(2)在曲线求一点P使|PF| 5. 思路点拨 (1)可由 |MF| 与d(d为M到l:x 16 5 的距离 )比为 5 4,列出 M(x,y
20、)满足的关 系,进而求出曲线的方程 (2)由|PF| 5,可得P到l的距离为4,从而可求得P的坐标 精解详析 (1)设d是点M到定直线l的距离,根据题意, 曲线上的点M满足 |MF| d 5 4 , 由此得 x5 2 y2 16 5 x 5 4, 即x5 2 y2 5 4 16 5 x, 两边平方整理得 x2 16 y 2 9 1. (2)设P(x,y)到l的距离为d,由 |PF| 5,得d4. 即 16 5 x4,解得x 36 5 或x 4 5. 由于 |x| 4,故x 4 5 不合题意,舍去 由x 36 5 得y 6 5 14. 点P的坐标为 36 5 , 614 5 . 一点通 圆锥曲线
21、上点的横(纵 )坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联 系,这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立,这种关系的应用可以实现点到点的距离向点 到直线的距离的转化,从而使运算得以简化 1.抛物线y22px(p0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 是它的焦点,若|AF| ,|BF| ,|CF| 成等差数列,则( ) Ax1,x2,x3成等差数列 By1,y2,y3成等差数列 Cx1,x3,x2成等差数列 Dy1,y3,y2成等差数列 解析:由抛物线定义: |AF| |AA | ,|BF| |BB| ,|CF| |
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