高中数学第三章3.4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.4 生活中的优化问题举例 第 1 课时变化率问题、导数的概念 核心必知 1预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材P101P104的内容,回答下列问题 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐 (1)生产这种易拉罐,如何计算材料用的多少呢? 提示:计算出圆柱的表面积即可 (2)如何制作使用材料才能最省? 提示:要使用料最省,只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x,列出圆柱表 面积S2x2 1 000 x (x0),求S最小时,圆柱的半径、高即可 2归纳总结,核心必记 (1)优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、
2、效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题 (2)解决优化问题的基本思路 问题思考 在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗? 提示: 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点 对应最小值,极大值点对应最大值 课前反思 (1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题? ; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)解决优化问题的基本思路是什么? 讲一讲 1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图,圆形广场的圆心为O,半 径为 100 m,并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的 垂线,垂足为点B.市园
3、林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位: m2), AON(单位:弧度 ) (1)将S表示为的函数; (2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积 尝试解答 (1)BMAOsin 100sin , ABMOAOcos 100100cos ,(0, ) 则S 1 2 MBAB 1 2100sin (100 100cos ) 5 000(sin sin cos ),(0, ) (2)S 5 000(2cos 2 cos 1) 5 000(2cos 1)(cos 1)令S 0, 得 cos 1 2 或 cos 1(舍去 ), 此时 3. 当变化时,S,S的变化情况如下表: 积
4、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以,当 3时, S取得最大值Smax3 7503 m2,此时AB 150 m,即点A到北京路 一边l的距离为150 m. (1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相 关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值 (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际 相关的问题 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简 单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程 练一练 1请你设计一个包装盒如图所示,ABCD是
5、边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴 影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合 于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上,是被切去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm) (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值 解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm) 由已知得a2x,h 602x 2 2(30 x), 0x30. (1)S4ah8x(30x) 8(x 15) 21 800,
6、所以当x15 时,S取得最大值 (2)Va 2h2 2(x330x2),V 62x(20x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由V 0 得x0(舍)或x20. 当x(0,20)时,V 0;当x(20,30)时,V 0. 所以当x20 时,V取得极大值,也是最大值 此时 h a 1 2,即包装盒的高与底面边长的比值为 1 2. 讲一讲 2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某 幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位:万元 )与隔热层厚度x(单位: cm)满足关系:C(x) k 3x
7、5(0 x 10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8 万元,设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源 消耗费用之和 (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值 尝试解答 (1)由题设,隔热层厚度为x cm,每年能源消耗费用为C(x) k 3x5, 再由C(0)8,得k40, 因此C(x) 40 3x5. 而建造费用为C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 40 3x56x 800 3x56x(0 x10) (2)f(x)6 2 400 ( 3x5) 2, 令f (x)0,
8、即 2 400 (3x5)26, 解得x5,x 25 3 (舍去 ) 当 0x0, 故x5 是f(x)的最小值点, 对应的最小值为f(5) 65 800 15570. 所以,当隔热层修建5 cm 厚时,总费用达到最小值70 万元 实际生活中用料最省、费用最低、 损耗最小、 最节省时间等都需要利用导数求解相应函 数的最小值, 此时根据f(x)0 求出极值点 (注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函 数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 练一练 2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10 km/h 时, 燃料费是每小时6 元,而其他与速度无关
9、的费用是每小时96 元,问此轮船以多大的速度航 行时,能使每千米的费用总和最少? 解:设燃料费ykv3,因为当v10 时,y 6,k 3 500, y 3 500 v3. 每千米总费用:S1 v 3 500 v396 3 500 v2 96 v , S 3 250v 96 v2 . 令S 0 得v20, 当v(0,20)时,S0. v20 km/h 是S的极小值点,也是最小值点, v20 km/h 时,每千米的费用总和最少 知识点 3 利润最大问题 讲一讲 3某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200 元,如果生产出一件次 品,则损失100元已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日
10、产量x的函数关系是:p 3x 4x32(xN *) (1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数; (2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 尝试解答 (1)因为次品率p 3x 4x32, 所以当每天生产x件时,有x 3x 4x32件次品, 有x1 3x 4x32 件正品 所以T200x 1 3x 4x32 100x 3x 4x32 25 64xx2 x8 (xN *) (2)T 25 (x32)(x16) (x 8) 2 , 由T 0,得x16 或x 32(舍去 ) 当 00; 当x16 时,T0, r l 6是其唯一的极值点 当r
11、 l 6时, V取得最大值,最大值为 l 6 3 . 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时,在四角截 去的正方形的边长为( ) A 6 cm B8 cm C10 cm D12 cm 解析:选 B 设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积V cm3.由题意,得Vx(48 2x)2(00;当x(8,24)时,V20 时f(x)0,故x 20 时,f(x)最小 答案: 20 5甲、乙两地相距400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100 千米 / 时,已知该汽车每小时的运
12、输成本P(元)关于速度v(千米 / 时)的函数是P 1 19 200 v 4 1 160v 3 15v, (1)求全程运输成本Q(元 )关于速度v的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?并求此时运输成本的最小值 解: (1)QP 400 v 1 19 200 v 4 1 160v 315v 400 v 1 19 200 v3 1 160v 215 400 v3 48 5 2v 26 000(00, v80 千米 / 时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且QminQ(80) 2 000 3 (元) 题组 3 利润最大问题 6已知某生产厂家的年利润y(单位:万元 )
13、与年产量x(单位:万件 )的函数关系式为y 1 3x 381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13万件B11 万件C9 万件D7 万件 解析:选 C 因为yx2 81,所以当 (9, )时,y0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以函数y 1 3x 381x234在(9, )上单调递减,在 (0,9)上单调递增,所以x 9时函 数取最大值 7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为 Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出)( ) A 30 元B 60 元
14、C28 000 元D23 000 元 解析:选 D 设毛利润为L(p),由题意知 L(p)pQ20QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000, 所以L(p) 3p 2300p11 700. 令L(p)0,解得p30 或p 130(舍去 ) 此时,L(30) 23 000. 因为在p30 附近的左侧L(p)0,右侧L(p)0),贷款的利率为0.048 ,假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率 为x(x(0,0.048),为使银行获得最大收益,则存款利率应定为_ 解析:存款利率为x,依题意:存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收
15、益是 0.048kx2,x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(00;当 0.0320;x 26 3 , 11 时,L(x)0.所以当x4 时,y最小 2设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A. 3 VB.32VC.34VD23V 解析:选 C 设底面边长为x,高为h, 3 4 x2hV,h 4V 3x2 43V 3x2 . S表2 3 4 x23xh 3 2 x2 43V x , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S(x)3x 43V x2 ,令S(x)0 可得3x 43V x2 ,x34V,x 3 4V. 当 0 3 4V
16、时,S(x)0, 当x 3 4V时,S(x)最小 3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边 要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为( ) A 32 m,16 m B30 m, 15 m C40 m,20 m D36 m,18 m 解析:选 A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m,其他两边边长为y m,则xy 512,堆料场的周长lx2y 512 y 2y(y0),令l 512 y2 2 0,解得y 16(另一负根舍 去),当 016 时,l0,所以当y16 时,函数取得极小值,也就 是最小值,此时x 512 16 32. 4某公司生
17、产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100 元,若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x) x3 900400x(0 x390),则当总利润 最大时,每年生产的产品单位数是( ) A 150 B200 C250 D300 解析: 选 D 由题意可得总利润P(x) x3 900300 x20 000,0x390,由P(x) x 2 3003000,得 x 300. 当 0x0;当 3000,当h 203 3 时,V0,f(x)是递增的, x 23 3 ,2 时,f(x)0,得1020,函数f(x)在(0, )上单调递增 当a0. 设x1,x2(x10, 所以
18、x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增, x(x2, )时,g(x)1,即a2 时,函数f(x)在(, 1)上为增函数,在(1,a1)上为减函数,在(a 1, )上为增函数 依题意当x(1,4)时,f(x)0. 故 4a16, 即 5a7. 因此a的取值范围是 5,7 对点训练 2求函数f(x)a 2ln xx2 ax(a0)的单调区间 解:因为f(x)a2ln xx2ax,其中x0, 所以f(x)a 2 x 2xa (xa)( 2xa) x . 由于a0, 所以f(x)的增区间为 (0,a),减区间为 (a, ) 3已知函数f(x)x a x b(x0),其中a,bR
19、,若曲线yf(x)在点P(1,f(1)处的切 线方程为y 3x1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间 解: (1)f (x)1 a x2, 由导数的几何意义得f(1) 3, 于是a4, 由切点P(1,f(1)在直线y 3x 1上得 1ab 2,解得b 7. 所以函数f(x)的解析式为f(x)x 4 x7(x0) (2)f(x)1 4 x2 x24 x2 (x0), 由f (x)0 得x2 或x0,知ax 22ax10 在 R 上恒成立 因此4a 24a 4a(a1)0, 又由a0,得 0g(x),则构造函数(x)f(x)g(x),只需证(x)0 即可,由此转化成求
20、 (x)最小值问题,借助于导数解决 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 典例 6 证明x3x2x1sin x(x0,xR) 证明:令f(x)x3x2x1, 则f (x)3x22x 1. 该导函数对应的一元二次方程的判别式4 120 恒成立, 所以f(x)在 R 上是递增的 因为x0, 所以f(x)f(0)1. 而 sin x1, 所以x3x2x1sin x成立 对点训练 6证明不等式ln x 2(x1) x1 ,其中x1. 证明:设f(x)ln x 2(x1) x1 (x1), 则f (x) 1 x 4 (x1) 2 (x1) 2 x(x1) 2. x1,f(x)0, 即f(x)在(1,
21、 )内为单调递增函数 又f(1) 0, 当x1 时,f(x)f(1)0, 即 ln x 2(x1) x1 0, ln x 2(x 1) x1 . 解决恒成立问题的方法: (1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立,则转化为f(x)maxm. (2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立,则转化为f(x)minm. (3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具 典例 7 已知函数f(x)xln x. (1)若函数g(x)f(x)ax在区间 e2, )上为增函数,求a的取值范围; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若对任意x(0, ),f(x) x2mx 3
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