高中数学第三章Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.2指数函数学习导航学案新人教B版必修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 指数函数 自主整理 1.指数函数的定义 函数 yax(a0 且 a1,xR)叫做指数函数.定义中对a0 且 a1 的规定, 是为了保证定义域 为实数集,且具有单调性. 2.指数函数的图象和性质 a1 00 且 a1)的图象关于y 轴对称 . 6.底数 a 对图象特征的影响可这样来叙述:当a1 时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴, 递增的速度越快;当0 a1 时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴,递减的速度越快. 7.指数函数性质口诀: 指数增减要看清,抓住底数不放松, 反正底数大于0,不等于1 已表明; 底数若是大于1,图象从下往上增;
2、 底数 0 到 1 之间,图象从上往下减. 无论函数增和减,图象都过(0,1)点. 名师解惑 指数函数中为什么规定底数a0 且 a1? 剖析:很多同学学习了指数函数的定义后,对底数的限制a0,且 a1 总是迷惑不解.突破方 法是分析不加限制可能出现的“混乱局面”. 若 a0 时, a x=0;当 x0 时, ax无意义 . 若 a=1,则对于任何x R,ax是一个常量1,没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定a0 且 a1,这样对于任何xR,ax都有意义 ,且 a x0. 讲练互动 【例题 1】将三个数1.5 0.2,1.30.7, ( 3 2 ) 3 1 按从小到大的顺序排列.
3、分析 :当两个幂指数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函 数,借助函数的单调性来比较大小. 解: 先比较 1.50.2即( 3 2 )0.2和( 3 2 ) 3 1 的大小,考查指数函数y=( 3 2 ) x,由于底数 3 2 在区间( 0, 1)内,所以指数函数y=( 3 2 ) x 在( -, + )上是减函数. 由 0.2= 5 1 3 1 ,得 1( 3 2 ) 0.2( 3 2 ) 3 1 .另一方面,由于1.31,0.70,得 1.30.7 1.所以 ( 3 2 ) 3 1 1.5 0.21.30.7. 绿色通道 处理比较大小的问题的一般方法是:先和特殊
4、值比,比如说和0 比,和 1 比,然后 将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x 取两值时所对应的两函数值,再利用函 数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系. 变式训练 1.比较下列各组数的大小: (1)( 4 7 )0.1和( 4 7 )0.2; (2)( 4 3 ) 6 1 和 ( 3 4 ) 5 1 ; (3)0.8 -2 和( 3 5 ) 2 1 ; (4)a 3 1 和 a 2 1 (a0,a1). 分析 :此题中第 (3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊 数如 0 或 1 来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运
5、算化为底数相同的两 个幂 ,可构造指数函数来比较大小. 解: (1)y=( 4 7 )x在 (- ,+)上是减函数 , 又-0.1-0.2,故( 4 7 )0.1( 3 4 ) 6 1 ,即( 4 3 ) 6 1 ( 3 4 ) 5 1 . (3)由 0.8 -21 而( 3 5 ) 2 1 ( 3 5 ) 2 1 . (4)当 a1 时,a 3 1 a 2 1 . 【例题 2】求下列函数的定义域与值域: (1)y=2 3 1 x ; (2)y=( 3 1 ) |x| ; (3)y=4 x+2x+1 +1; (4)y=2 1 1x x . 解: (1)因为指数函数y=2 x 的定义域为xR,值
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