高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式知识巧解学案新人教A版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.1 两角差的余弦公式 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、两角差的余弦公式 1.推导方法1(向量法 ):把 cos( - )看成是两个向量夹角的余弦,可以考虑利用两个向量的数 量积来研究 .如图 3-1-2,设、 的终边分别与单位圆交于点P1(cos ,sin ),P2(cos ,sin ),由于余 弦函数是周期为2的偶函数,所以我们只需考虑0 -的情况 . 图 3-1-2 设向量 a= 1 OP=(cos ,sin ),b= 2 OP=(cos ,sin ),则 ab=| a| | b| cos( - )=cos( - );另 一方面, 由向量数
2、量积的坐标表示有ab=cos cos +sin sin, 所以 cos( - )=cos cos +sin sin .于是对于任意的、都有上述式子成立. 图 3-1-3 推导方法 2(三角函数线法 ):设、-都是锐角,如图 3-1-3,角的终边与单位圆的交 点为 P1,POP1= ,则 POx= -; 过点 P作 PMx 轴于 M,则 OM 即为 -的余弦线.在这里, 我们想法用、的三角函数线来表示OM;过点 P 作 PAOP1于 A,过点 A 作 ABx 轴于 点 B,过点 P 作 PCAB 于点 C,则 OA 表示 cos, AP 表示 sin,并且PAC=P1Ox= , 于是 OM=OB
3、+BM=OB+CP=OAcos +APsin =cos cos +sin sin ,即 cos( - )=cos cos +sin sin . 2.公式的结构特征 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. 3.两角差的余弦公式C -的应用 (1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式,则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三 角函数值表示出来. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)已知角、的弦函数值,求cos( - )的值 . 由 cos( - )的展开式可知要求cos( - )的值,只需求得、的正弦值与余弦值即可.其中 sin、 cos, sin、
4、cos都是同角的三角函数关系. (3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式. (4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式. 学法一得公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用, 在很多时候, 逆用更能简洁地处理问 题 .如由cos50 cos20 +sin50 sin20能迅速地想到cos50 cos20 +sin50 sin20 =cos(50-20)=cos 30= 2 1 . 误区警示和差角的余弦公式不能按分配律展开,即cos()cos cos . 典题 ?热题 知识点一已知角、的三角函数值,求cos( - )的值 例 1 已知 sin = 17 15 , ( 2 , ),求 cos( 3 - )
5、的值 . 思路分析: 由于 3 是特殊角,根据cos( 3 - )的展开式,只需求出cos的值即可. 解: sin = 17 15 , ( 2 , ), cos = 17 8 ) 17 15 (1sin1 22 . cos( 3 - )=cos 3 cos +sin 3 sin = 34 8315 17 15 2 3 ) 17 8 ( 2 1 . 例 2 已知 sin = 13 12 ,cos = 5 3 ,、均为第二象限角,求 cos( - ). 思路分析: 由 cos( - )的展开式可知要求cos( - )的值,还需求出cos、 sin . 解: 由 sin = 13 12 ,为第二象限
6、角, cos = 13 5 ) 13 12 (1sin1 22 . 又由 cos = 5 3 ,为第二象限角, sin = 5 4 ) 5 3 (1cos1 22 . cos( - )=cos cos +sin sin = 65 63 5 4 13 12 ) 5 3 () 13 5 (. 方法归纳若所求角能用已知角表示出来,则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值 表示出来,因此合理进行角的变换是解题的关键. 例 3 求函数 y=cosx+3sinx 的周期、最值及取得最值时x 的集合 . 思路分析: 利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值. 解: y=cosx+3sinx=2( 2
7、 1 cosx+ 2 3 sinx)=2(cosxcos 3 +sinxsin 3 )=2cos(x- 3 ). 所以所求周期为2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 x- 3 =2k ,kZ,即 x|x= 3 +2k ,kZ时, ymax=2; 同理 ,可知当 x|x=- 3 2 +2k ,kZ时, ymin=-2. 例 4 已知 cos +cos = 5 3 ,sin +sin = 5 4 ,求 cos( - )的值 . 思路分析: 由于两角和、 差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关,根据条件,将其平 方后即可构造出同名的三角函数之积的形式. 解: 将 cos +cos
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