高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修26.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点 ) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点 ) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点 ) 基础初探 教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P132P133例 5 以上内容,完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法公式 S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin 2 T2tan 2 2tan 1tan2 2.余弦的二倍角公式的变形 3.正弦的二倍角公式的变形
2、 (1)sin cos 1 2sin 2 ,cos sin 2 2sin . (2)1sin 2(sin cos )2. 1.判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角,使得 sin 22sin 成立 .( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)对于任意的角,cos 22cos 都不成立 .( ) 【解析】(1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式, 要求 2 k (kZ)且 4 k (kZ),故此说法错误. (2).当k (kZ)时, sin 22sin . (3).当 cos 1
3、3 2 时, cos 22cos . 【答案】(1)(2)(3) 2.已知 cos 1 3,则 cos 2 等于 _. 【解析】由 cos 1 3,得 cos 2 2cos 2 12 1 3 21 7 9. 【答案】 7 9 小组合作型 利用二倍角公式化简三角函数式 化简求值 . (1)cos4 2 sin 4 2; (2)sin 24 cos 24cos 12; (3)12sin2 750; (4)tan 150 13tan 2 150 2tan 150 . 【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得. 【自主解答】(1)cos 4 2sin 4 2 cos 2 2sin
4、 2 2 cos 2 2sin 2 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos . (2)原式 1 2 2sin 24cos 24 cos 12 1 2sin 12cos 12 1 4 2sin 12cos 12 1 4sin 6 1 8. 原式 1 8. (3)原式 cos(2 750)cos 1 500 cos(4360 60) cos 60 1 2. 原式 1 2. (4)原式 2tan2150 13tan2 150 2tan 150 1tan 2 150 2tan 150 1 tan2150 1 tan 300 1 tan360 60 1 tan 60 3 3 . 原式 3
5、3 . 二倍角公式的灵活运用: (1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有: 2sin cos sin 2,sin cos 1 2 sin 2, cos sin 2 2sin ,cos 2 sin2cos 2, 2tan 1 tan2 tan 2. (2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公 式.主要形式有: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1sin 2sin 2 cos22sin cos (sin cos )2,1cos 22cos 2 ,cos 2 1cos 2 2 ,sin2 1cos 2 2 . 再练一
6、题 1.求下列各式的值: (1)sin 12cos 12; (2) 2tan 150 1tan2150 ; (3) 1 sin 10 3 cos 10; (4)cos 20 cos 40 cos 80 . 【解】(1)原式 2sin 12cos 12 2 sin 6 2 1 4. (2)原式 tan(2150)tan 300 tan(360 60) tan 603. (3)原式 cos 103sin 10 sin 10cos 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 10cos 10 4sin 30cos 10 cos 30sin 10 2sin 10cos 10 4sin
7、20 sin 20 4. (4)原式 2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2sin 20 2sin 40 cos 40 cos 80 4sin 20 2sin 80 cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 1 8. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 利用二倍角公式解决求值问题 (1)已知 sin 3cos ,那么 tan 2的值为 ( ) A.2 B.2 C. 3 4 D. 3 4 (2)已知 sin 6 1 3,则 cos 2 3 2的值等于 ( ) A. 7 9 B. 1 3 C. 7 9 D. 1 3 (3)已知 cos 3 4,sin
8、 2 3, 是第三象限角, 2,. 求 sin 2的值;求cos(2)的值 . 【精彩点拨】(1)可先求 tan ,再求 tan 2; (2)可利用 2 3 2 2 3及 3 2 6 求值; (3)可先求 sin 2,cos 2,cos ,再利用两角和的余弦公式求cos(2). 【自主解答】(1)因为 sin 3cos , 所以 tan 3, 所以 tan 2 2tan 1 tan2 23 132 3 4. (2)因为 cos 3 sin 2 3 sin 6 1 3, 所以 cos 2 3 22cos 2 3 1 2 1 3 21 7 9. 【答案】(1)D (2)C (3)因为是第三象限角,
9、cos 3 4, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 sin 1cos 2 7 4 , 所以 sin 22sin cos 2 7 4 3 4 37 8 . 因为 2, ,sin 2 3, 所以 cos 1 sin 2 5 3 , cos 22cos 2 1 2 9 16 1 1 8, 所以 cos(2)cos 2cos sin 2sin 1 8 5 3 37 8 2 3 567 24 . 直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin (或 cos ) 同角三角函数的关系 cos (或 sin ) 二倍角公式 sin 2(或 cos 2). (2)sin (或 cos ) 二倍角公
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