高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修28.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点 ) 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点 ) 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,了解公式的正用、逆用以及角的变换 的常用方法 .(易错点 ) 基础初探 教材整理1 两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容,完成下列问题. 名称简记符号公式使用条件 两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ,R 两角和的余弦公式C()cos
2、()cos cos sin sin ,R cos 75cos 15 sin 75sin 15的值等于 _. 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75cos 15 sin 75sin 15 cos(75 15)cos 90 0. 【答案】0 教材整理2 两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容,完成下列问题. 1.公式 名称简记符号公式使用条件 两角和的正弦S( ) sin()sin cos cos sin ,R 两角差的正弦S()sin()sin cos cos sin ,R 2.重要结论辅助角公式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 yasin xbcos xa 2
3、b2sin(x )(a,b不同时为0),其中cos a a 2b2,sin b a2b2 . 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的 .( ) (2)存在,R,使得 sin()sin sin 成立 .( ) (3)对于任意, R,sin()sin sin 都不成立 .( ) (4)sin 54cos 24 sin 36sin 24 sin 30.( ) 【解析】(1).根据公式的推导过程可得. (2).当45,0时, sin()sin sin . (3).当30, 30时, sin()sin sin 成立 . (4).因为 sin 54cos
4、24 sin 36sin 24 sin 54cos 24 cos 54sin 24 sin(54 24 )sin 30,故原式正确. 【答案】(1)(2)(3)(4) 教材整理3 两角和与差的正切公式 阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容,完成下列问题. 名称简记符号公式使用条件 两角和的正切T( )tan() tan tan 1 tan tan ,k 2 (k Z) 且 tan tan 1 两角差的正切T( )tan() tan tan 1 tan tan ,k 2 (k Z) 且 tan tan 1 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)存在,R,使 tan()tan t
5、an 成立 .( ) (2)对任意,R,tan() tan tan 1tan tan 都成立 .( ) (3)tan() tan tan 1tan tan 等价于 tan tan tan()(1tan tan ).( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】(1).当 0, 3时, tan( )tan 0 3 tan 0tan 3,但一般情况下不 成立 . (2).两角和的正切公式的适用范围是,k 2(kZ). (3).当k 2(kZ), k 2 (k Z),k 2 (kZ)时,由前一个式子两边同 乘以 1tan tan 可得后一个式子. 【答案】(1)(2)(3) 小组合作型
6、灵活应用和、差角公式化简三角函数式 (1) sin 47 sin 17cos 30 cos 17 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 (2)化简求值: 1tan 75 1tan 75 ; sin(75)cos(45)3cos(15); tan 20 tan 403tan 20 tan 40. 【精彩点拨】(1)化简求值应注意公式的逆用. (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】(1) sin 47 sin 17cos 30 cos 17 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin17 30sin 17 cos 30 cos
7、17 sin 17cos 30 cos 17sin 30 sin 17cos 30 cos 17 cos 17sin 30 cos 17 sin 30 1 2. 【答案】C (2)原式 tan 45 tan 75 1tan 45tan 75 tan(45 75)tan 1203. 原式3. 设15, 则原式 sin(60)cos(30)3cos 1 2sin 3 2 cos 3 2 cos 1 2sin 3cos 0. 原式 0. 原式 tan 60(1tan 20tan 40 )3tan 20 tan 403. 原式3. 1.公式 T(),T()是变形较多的两个公式,公式中有tan tan
8、,tan tan (或 tan tan ),tan()(或 tan().三者知二可表示出或求出第三个. 2.化简过程中注意“1”与“ tan 4” , “ 3”与“ tan 3” , “ 1 2”与“ cos 3”等特殊数与特 殊角的函数值之间的转化. 再练一题 1.化简求值: (1)cos 61 cos 16 sin 61 sin 16; (2)sin 13cos 17 cos 13 sin 17; (3) 1tan 12tan 72 tan 12 tan 72 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解】(1)原式 cos(61 16)cos 45 2 2 . (2)原式 sin(
9、13 17)sin 30 1 2. (3)原式 1tan 12 tan 72 tan 12 tan 72 1 tan72 12 3 3 . 给值求值 已知 4 3 4 ,0 4,cos 4 3 5,sin 3 4 5 13,求 sin( )的值 . 【导 学号: 00680069】 【精彩点拨】可先考虑拆角, 3 4 4 , 然后再利用sin() sin( )求值 . 【自主解答】因为 4 3 4,所以 2 4 , 所以 sin 4 1cos2 4 4 5. 又因为 0 4 , 3 4 3 4 , 所以 cos 3 4 1sin 2 3 4 12 13, 所以 sin() sin() sin
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