高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修9.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1不等关系与不等式 不等关系与不等式 提出问题 在日常生活中,我们经常看到下列标志: 问题 1:你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么? 提示:最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里; 限制重量:装载总重量G不得超过10 t; 限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; 限制宽度:装载宽度a不得超过3 m; 时间范围:t7.5,10 问题 2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:v50;G10;h3.5;a3; 7.5t10. 导入新知 不等式的概念 我们用数学符号“” “” “”“”或“”连接两个数或两个代数式,以表示它 们
2、之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式 化解疑难 1不等关系强调的是关系,可用符号“”“” “”“” “”表示,而不等式则 是表示两者的不等关系,可用“ab” “ab” “ab” “ab” “ab”等式子表示,不等关 系是可以通过不等式来体现的 2不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于,高于,超过小于,低于,少于 大于等于,至少, 不低于 小于等于,至多, 不多于,不超过 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 符号 语言 两实数大小的比较 提出问题 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大 问题 1:怎样判
3、断两个实数a,b的大小? 提示:若ab是正数,则ab;若ab是负数, 则ab?ab0 ab,bc,则ac,对吗?为什么? 提示:正确ab,bc, ab0,bc0. (ab)(bc)0,即ac0. ac. 问题 2:若ab,则acbc,对吗?为什么? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:正确ab, ab0, acbc0, 即acbc. 问题 3:若ab,则acbc,对吗?试举例说明 提示:不一定正确若a2,b1,c2 时正确c 2 时不正确 导入新知 不等式的性质 (1)对称性:ab?bb,bc?ac; (3)可加性:ab?acbc. 推论 (同向可加性 ): ab cd ?acbd
4、. (4)可乘性: ab c0 ?acbc; ab cb0 cd0 ?acbd. (5)正数乘方性:ab0?a n bn(n N *, n 1) (6)正数开方性:ab0? n a n b(nN *, n2) 化解疑难 1在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件 2要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性 用不等式 (组)表示不等关系 例 1 某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7 辆载重为6 t 的乙型卡车,有9 名 驾驶员此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6 次,乙 型卡车每辆每天可往返8 次,写
5、出满足上述所有不等关系的不等式 解 设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆由题意得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy9, 106x68y360, 0x4, 0y7, x N,yN, 即 xy9, 5x4y30, 0x4,0y7, x N,yN. 类题通法 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系 (2)找出体现不等关系的关键词:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过” 等用代数式表示相应各量,并用关键词连接特别需要考虑的是“”“”中的“” 能否取到 活学活用 用不等式 (组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速 80 km/
6、h 的路标; (2)桥头上限重10 吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%,蛋白质的含量p不少 于 2.3%. 解: (1)设汽车行驶的速度为v km/h ,则v80. (2)设汽车的重量为吨,则10. (3) f2.5%, p2.3%. 比较两数 (式)的大小 例 2 比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x23 与 2x; (2)已知a,b为正数,且ab,比较a 3 b3与a 2b ab 2 的大小 解 (1)(x23)2xx22x 3 () x1 2220, x232x. (2)(a3b3) (a 2b ab 2) a 3 b3a 2b ab 2 a
7、 2(a b)b2(ab)(ab)(a2b2) (ab)2(a 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 b) a0,b0,且ab, (ab)20,ab0. (a 3 b3)(a 2b ab 2)0, 即a 3b3 a 2b ab 2. 类题通法 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子 )作差; (2)变形:对差进行变形; (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论 这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程是作差变形判断符号结 论,其中变形是判断符号的前提 活学活用 试判断下列各对整式的大小: (1)m22m5 与 2m5; (
8、2)x36x与x2 6. 解: (1)(m22m5)(2m5) m22m52m5m 2. m20, (m22m5)(2m5)0, m22m5 2m5. (2)(x36x)(x26) x3x26x6 x2(x 1) 6(x1) (x1)(x26) x260, 当x1 时, (x1)(x26)0, 即x36xx26. 当x1 时, (x1)(x26)0, 即x36xx26. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x1 时, (x1)(x26)0, 即x36xx26. 不等式的性质 例 3 已知ab0,cd0,e 0,求证: e ac e bd. 证明:cd 0, cd0. 又ab0, a(c
9、)b (d)0, 即acbd0, 0 1 ac 1 bd. 又e 0, e ac e bd. 类题通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基 础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略 条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 活学活用 已知ab,mn,p0,求证:napmbp. 证明:ab,又p0, apbp. apbp. 又mn,即nm. napmbp. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.探究利用不等式
10、性质求取值范围 典例 已知 1a 4,2b8,试求 2a3b与ab的取值范围 解 1a4,2b8, 22a 8,63b24. 82a 3b32. 2b8, 8b 2. 又 1a4, 1(8)a (b)4(2), 即 7ab2. 故 2a3b的取值范围是 (8,32),ab的取值范围是 (7,2) 【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意:同向不等式的两边可以相加 (相乘 ),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取 值范围 【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时, 要充分利用所给条件 进行适当变形来求范围,注意变
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