高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式新人教A版必修16.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1 不等关系与不等式 (1)如何用不等式 (组)来表示不等关系? (2)比较两数 (或式 )的大小有哪些常用的方法? (3)不等式的性质有哪几条? 新知初探 1不等式的概念 我们用数学符号“”、 “ ” 、 “b,那么ab是正数; 如果ab?ab0 ab?bb,bc?ac; (3)可加性:ab?acbc; 推论 (同向可加性 ): ab cd ?acbd; (4)可乘性: ab c0 ?acbc; ab cb0 cd0 ?acbd; (5)正数乘方性:ab0?a n bn(n N *, n 1); (6)正数开方性:ab0? n a n b(nN
2、 *, n2) 点睛 (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的 条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)不等式x2 的含义是指x不小于 2( ) (2)若ab,则acbc一定成立 ( ) (4)若acbd,则ab,cd( ) 解析: (1)正确不等式x2 表示x2 或x2,即x不小于 2,故此说法是正确的 (2)正确 不等式ab表示ab,则acbc不一定成立,故此说法是错误的 (4)错误取a4,c5,b6,d2,满
3、足acbd,但不满足ab,故此说法错误 答案: (1)(2)(3)(4) 2已知ab0,bbbaBab ab Ca bb aDaba b 解析:选 C 法一: A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,可 用特殊值法 令a 2,b 1,则有 2(1)1 2, 即a bba. 法二:ab0,bb0,a b0b a,即a bba. 3设a,b是非零实数,若a0, 所以 1 a 2b 1 ab 2 ba a2b 20,故 1 a 2b 1 ab 2. 4若A(x 3)(x 7),B(x4)(x6),则A,B的大小关系为_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:由题意得,Ax2
4、10x21,Bx2 10x24,所以AB 3b 3dB2ac3bd C2acb 3dD2a3dbc (2)下列说法不正确的是( ) A若aR,则 (a 22a1)3( a2)3 B若aR,则 (a1)4(a2)4 C若 0 1 3 b D若 00,所以 a 22a1a2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则(a 22a1)3( a2)3,故 A 选项说法正确;对于B,当a1 时, (a 1)40,(a2) 41, 所以 (a 1) 4( a2)4不成立;对于C 和 D,因为 0bc,且abc 0,则下列不等式恒成立的是( ) AabbcBacbc CabacDa|b|b|c 解析:选
5、 C 因为abc,且abc 0,所以a0,cac. 2若ab0,c e bd 2. 证明:cd0. 又ab0,acbd0,则 (ac)2(bd)20,即 1 ac 2 e bd 2. 数式的大小比较 典例 (1)已知x0,试比较a与 1 a 的大小 解 (1)(x31)(2x22x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x1)(x2x1) 2x(x1) (x1)(x2x1) (x1)x 1 2 2 3 4 . x0, (x1)x 1 2 23 4 0,所以当a1 时, a1a1 a 0,有a 1 a; 当a 1时, a 1a1 a 0,有a 1 a ; 当 01 时,a 1 a; 当a
6、 1时,a 1 a; 当 0b0,比较 a 2 b2 a 2 b2与 ab ab的大小 解: a 2 b2 a 2 b2 ab ab a 2 b2ababa 2b2 a 2 b2ab abab 2 a2b2 a 2b2 ab 2abab a 2b2 ab . ab0, 2ab0,ab0,a 2 b20,ab0, 得 2abab a 2 b2ab 0,所以 a2b2 a2b2 ab ab. 2若m2,比较m m 与 2 m 的大小 解:因为 mm 2m m 2 m,又因为 m2,所以 m 2 1,所以 m 2 m m 2 01,所以 mm2 m. 用不等式性质求解取值范围 典例 已知 1a 4,
7、2b8,试求 2a3b与ab的取值范围 解 1a4,2b8, 22a8,63b 24. 82a 3b32. 2b8, 8b 2. 又 1a4, 1(8)a(b)4( 2), 即 7ab2. 故 2a3b的取值范围是 (8,32),ab的取值范围是 (7,2) 同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时, 要充分利用所给条件 进行适当变形来求范围,注意变形的等价性. 1在本例条件下,求 a b的取值范围 解: 2b8, 1 8 1 b 1 2,而 1 a4, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 1 8 a 1 b4 1 2,即 1 8 a b2. 故 a b的取值范围是
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