高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修54.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.2 均值不等式 (1)均值不等式的形式是什么?需具备哪些条件? (2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面? (3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题? 新知初探 1均值定理 如果a,bR,那么 ab 2 ab.当且仅当ab时,等号成立,以上结论通常称为均值不 等式 对任意两个正实数a,b,数 ab 2 称为a,b的算术平均值 (平均数 ),数ab称为a,b的几 何平均值 (平均数 ) 均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值 点睛 (1) “ab” 是a b 2 ab的等号成立的条件若ab, 则 ab 2
2、ab, 即 ab 2 ab. (2)均值不等式 ab 2 ab与a 2 b22ab成立的条件不同,前者a0,b 0,后者aR, bR. 2利用均值不等式求最值 (1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; (2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)对任意a,bR,a 2 b22ab,ab2ab均成立 ( ) (2)若a0,则a 4 a2 a 4 a 4( ) (3)若a0,b0,则ab ab 2 2( ) 解析: (1)错误任意a,bR,有a 2 b2 2ab成立,当a,b都为正数时,不等式ab 2ab成立 预习课本
3、P6971,思考并完成以下问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)错误只有当a0 时,根据均值不等式,才有不等式a 4 a 2a 4 a4 成立 (3)正确因为aba b 2 ,所以ab ab 2 2. 答案: (1)(2)(3) 2已知f(x)x 1 x2(x0),则 f(x)有( ) A最大值为0 B最小值为0 C最小值为 2 D最小值为2 答案: B 3对于任意实数a,b,下列不等式一定成立的是( ) Aab2abB. ab 2 ab Ca 2b22ab D. b a a b 2 答案: C 4已知 0x1,则函数yx(1x)的最大值是 _ 答案: 1 4 利用均值不等式比
4、较大小 典例 (1)已知ma 1 a2(a 2),n22b2(b0),则m,n之间的大小关系是( ) AmnBmb1,Plg alg b,Q 1 2(lg alg b),Rlg ab 2 ,则P,Q,R的大小关系是 _ 解析 (1)因为a2,所以a 20,又因为ma 1 a2(a2) 1 a22,所以 m 2a2 1 a 2 24,由b 0,得b2 0,所以 2b2n. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为ab1,所以 lg alg b0, 所以Q 1 2 (lg alg b)lg alg bP; Q 1 2(lg alg b)lg alg blg ab0,b0. 活学活用 已
5、知a,b,c都是非负实数,试比较a2b2b2c2c2a2与2(abc)的大小 解:因为a 2b22ab,所以 2(a2 b2)(ab)2, 所以a 2 b2 2 2 (ab), 同理b2c 2 2 2 (bc), c2a2 2 2 (ca), 所以a 2 b2b2c2c2a2 2 2 (ab)(bc)(ca), 即a 2 b2b2c2c2a 2 2(abc),当且仅当abc时,等号成立 . 利用均值不等式证明不等式 典例 设a,b,c都是正数,求证:ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc. 证明 因为a,b,c都是正数,所以ab(ab)bc(bc)ca(ca)a 2b ab 2b2c b
6、c2 c2aca 2 (a2b bc2)(b2cca 2)(c2a ab 2)2 a 2b2c22 a2b2c22a 2b2c26abc ,所以原不等 式成立,当且仅当abc时,等号成立 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐 步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知” (2)注意事项: 多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; 对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,
7、形成均值不等式模型再使用 活学活用 已知a,b,c为正实数,且abc1,求证: 1 a1 1 b1 1 c1 8. 证明:因为a,b,c为正实数,且abc1, 所以 1 a1 1a a bc a 2bc a . 同理, 1 b1 2ac b , 1 c1 2ab c . 上述三个不等式两边均为正, 相乘得 1 a 1 1 b1 1 c1 2bc a 2ac b 2ab c 8,当且仅当abc 1 3时,取等号 . 利用均值不等式求最值 典例 (1)已知 lg alg b2,求ab的最小值 (2)已知x 0,y0,且 2x3y6,求xy的最大值 (3)已知x 0,y0, 1 x 9 y1,求 x
8、y的最小值 解 (1)由 lg alg b2 可得 lg ab2, 即ab100,且a0,b0, 因此由均值不等式可得ab2ab2100 20, 当且仅当ab10 时,ab取到最小值20. (2)x0,y0,2x3y 6, xy 1 6(2x3y ) 1 6 2x3y 2 2 1 6 6 2 2 3 2, 当且仅当2x3y, 即x 3 2, y1 时,xy取到最大值 3 2. (3) 1 x 9 y1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy (xy) 1 x 9 y 1 9x y y x9 y x 9x y 10, 又x0,y0, y x 9x y 102 y x 9x y 1016
9、, 当且仅当 y x 9x y ,即y 3x时,等号成立 由 y3x, 1 x 9 y 1, 得 x4, y12, 即当x4,y 12时,xy取得最小值16. (1)应用均值不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相等在具体的题目中,“正数” 条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被 设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧因此,“定值”条件决定着基本不等式应 用的可行性,这是解题成败的关键 (2)常用构造定值条件的技巧变换: 加项变换;拆项变换;统一变元;平方后利用基本不等式 (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用 活学活用 1已知a0,b
10、0, 2 a 1 b 1 6 ,若不等式2ab9m恒成立,则m的最大值为 ( ) A8 B7 C6 D5 解析:选C 由已知,可得6 2 a 1 b 1, 2ab6 2 a 1 b (2ab)6 5 2a b 2b a 6 (54)54,当且仅当 2a b 2b a 时等号成立,9m 54,即m6,故选 C. 2若x0,y0,且x4y1,则xy的最大值为 _ 解析: 1x4y24xy4xy, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy 1 16,当且仅当 x4y 1 2时等号成立 答案: 1 16 利用均值不等式解应用题 典例 某单位决定投资3 200元建一仓库 (长方体状 ),高度恒定,
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