高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题新人教A版必修20.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 33.1 二元一次不等式(组)与平面区域 (1)二元一次不等式是如何定义的? (2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域? (3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域? 新知初探 1二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是1 的不等式称为二元一次不等式 2二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 3二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y), 叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的有序数对(
2、x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 4二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式AxByC0 表示直线AxByC0 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界 不等式AxByC0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线 5二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线AxByC0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入AxByC,所得的符号都相 同 (2)在直线AxByC0 的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0By0C的符 号可以断定AxByC0 表示的是直线AxByC 0哪一侧的平面区域 点睛 确定二元一次不等式表示平面区域
3、的方法是“线定界, 点定域”,定边界时需分 清虚实,定区域时常选原点(C0) 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)由于不等式2x10 不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域( ) (2)点(1,2)不在不等式2xy10 表示的平面区域内( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)不等式AxByC0 与AxByC0 表示的平面区域是相同的( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( ) 解析: (1)错误不等式2x10 不是二元一次不等式,但表示的区域是直线x 1 2
4、的右 侧(不包括边界 ) (2)错误把点 (1,2)代入 2xy1,得 2xy130,所以点 (1,2)在不等式2xy10 表示的平面区域内 (3)错误不等式AxByC0 表示的平面区域不包括边界,而不等式AxByC0 表示的平面区域包括边界,所以两个不等式表示的平面区域是不相同的 (4)错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式,如 2xy10, 3x20,解得m 1 2. 答案:m m 1 2 二元一次不等式(组)表示的平面区域 典例 画出下列不等式(组)表示的平面区域 (1)2xy60; (2) xy50, xy0, x3. 解 (1)如图,先画出直线2xy60, 取原点O(0,0)
5、代入 2xy6 中, 2010 6 60, 与点O在直线 2xy60 同一侧的所有点(x,y)都满足 2xy 60,因此2xy60 表示直线下方的区域(包含边界 )(如图中阴 影部分所示 ) (2)先画出直线xy50(画成实线 ),如图,取原点O(0,0)代入x y5, 0055 0, 原点在xy5 0 表示的平面区域内,即xy 50 表示直 线xy50 上及其右下方的点的集合同理可得,xy0 表示直线xy0 上及其右上 方的点的集合,x3 表示直线x3 上及其左方的点的集合如图所示的阴影部分就表示原 不等式组的平面区域 (1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域
6、,再取 它们的公共部分即可其步骤为:画线;定侧;求“交”;表示 (2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取 一个特殊点 (x0,y0),从Ax0By0C的正负判定 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若关于x,y的不等式组 x0, x2y0, kxy10 表示的平面区域是直角三角形区域,则正数k 的值为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析:选 B 如图,易知直线kxy10 经过定点A(0,1),又知 道关于x,y的不等式组 x0, x2y0, kxy10 表示的平面区域是直角三角 形区域,且k0,所以k 1 2 1,解得k2,故选 B.
7、二元一次不等式(组)表示平面区域的面积 典例 不等式组 yx, x2y4, y 2 表示的平面区域的面积为( ) A. 50 3 B. 25 3 C. 100 3 D. 10 3 解析 作出不等式组 yx, x2y4, y 2 表示的平面区域,如图阴影部分所示可以求得 点A的坐标为 4 3 , 4 3 ,点B的坐标为 (2, 2),点C的坐标为 (8, 2),所以ABC的面 积是 1 28(2) 4 3 2 50 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案 A 求平面区域的面积的方法 求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积若 图形为规则的, 则直接
8、利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平 面区域分为几个规则图形求解 活学活用 不等式组 x0, x3y4, 3xy4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.3 2 B.2 3 C. 4 3 D. 3 4 解析:选 C 作出平面区域如图所示为ABC, 由 x3y40, 3xy40, 可得A(1,1), 又B(0,4),C0, 4 3 ,SABC 1 2| BC| |xA| 1 2 4 4 3 1 4 3,故选 C. 用二元一次不等式组表示实际问题 典例 某厂使用两种零件A,B装配两种产品P,Q,该厂的生产能力是月产P产品最 多有 2 500件,月产Q产品最多有1 200件;
9、而且组装一件P产品要 4 个零件A,2 个零件B, 组装一件Q产品要 6 个零件A,8 个零件B,该厂在某个月能用的A零件最多14 000 个,B 零件最多12 000个用数学关系式和图形表示上述要求 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 设分别生产P,Q产品x件,y件,依题意则有 4x6y14 000, 2x8y12 000, 0x2 500,xN, 0y1 200,yN. 用图 形表示上述限制条件,得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示 用二元一次不等式组表示实际问题的方法 (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示 (2)将问题中所有的量都用这两个字母表
10、示出来 (3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式 (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来 活学活用 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工 做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和 1 h又木工、 漆工每天工作分别不得超过8 h 和 9 h请列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域 解:设家具厂每天生产甲,乙型号的桌子的张数分别为x和y,它们满足的数学关系式 为: x2y 8, 3xy 9, x0,xN , y0,yN. 分别画出不等式组中各
11、不等式表示的平面区域,然后取交集, 如图 中的阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 层级一学业水平达标 1设点P(x,y),其中x,yN,满足xy3 的点P的个数为 ( ) A 10 B9 C3 D无数个 解析:选 A 作 xy 3, x,yN 的平面区域, 如图所示,符合要求的点P的个数为10. 2不在 3x2y3 表示的平面区域内的点是( ) A(0,0) B(1,1) C(0,2) D(2,0) 解析: 选 A 将(0,0)代入, 此时不等式3x2y3 不成立, 故(0,0)不在 3x2y3 表示的 平面区域内, 将(1,1)
12、代入,此时不等式3x 2y3 成立, 故(1,1)在 3x2y3 表示的平面区域 内,将(0,2)代入,此时不等式3x2y3 成立,故(0,2)在 3x 2y3 表示的平面区域内, 将 (2,0) 代入,此时不等式3x2y3 成立,故 (2,0)在 3x2y3 表示的平面区域内,故选A. 3不等式组 2xy20, x3y30 表示的平面区域为( ) 解析:选 C 取满足不等式组的一个点(2,0),由图易知此点在选项C 表示的阴影中,故 选 C. 4已知点M(2, 1),直线l:x2y30,则 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A点M与原点在直线l的同侧 B点M与原点在直线l的异
13、侧 C点M与原点在直线l上 D无法判断点M及原点与直线l的位置关系 解析:选 B 因为 2 2(1)310,020 3 30, xy 10. (1)画出满足不等式组的平面区域; (2)求满足不等式组的平面区域的面积 解: (1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示 (2)解方程组 2x3y60, x2y20, 得A 6 7, 10 7 , 解方程组 2x3y60, xy10, 得D 9 5, 4 5 , 所以满足不等式组的平面区域的面积为 S四边形ABCDSAEFSBCFSDCE 1 2(23) 10 7 1 2(12)1 1 2(31) 4 5 89 70. 层级二应试能力达标 积一时之
14、跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( ) A. 2xy0 xy3 y1 B. 2xy0 xy3 y1 C. 2xy0 xy3 y1 D. 2xy0 xy3 y1 解析:选 B 由图易知平面区域在直线2xy0 的右下方,在直线xy 3的左下方, 在直线y 1的上方,故选B. 2原点和点 (1,1)在直线xya0 的两侧,则a的取值范围是 ( ) A(, 0)(2, ) B0,2 C(0,2) D0,2 解析:选C 因为原点和点(1,1)在直线xya0 的两侧,所以a(2a)0, xm0 表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0 2y02,则实数m的取值
15、范围是 _ 解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图得点C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的坐标为 (m,m),把直线x2y2 转化为斜截式y 1 2x1,要使平面区域内存在点 P(x0, y0)满足x02y0 2,则点C在直线x 2y2 的右下方,因此m 2 3,故 m 的取值范围是 2 3 ,. 答案: 2 3, 7已知点M(a,b)在由不等式组 x0, y0, xy2 表示的平面区域内,求N(ab,ab)所在 的平面区域的面积 解:由题意, 得a,b满足不等式组 a0, b0, ab2, 设nab,mab,则a nm 2 ,b mn 2 , 于是有 nm 2 0,
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