2019年理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解).pdf
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1、第1页(共 13 页) 绝密启用前 6月 7日 15:00-17:00 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学(理工农医类) 总分: 150分 考试时间: 120分钟 祝考试顺利 注意事项: 1、本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2、选择题的作答:选出每小题答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿 纸
2、、答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后,将本试卷和答题卡一并上交。 第 I 卷 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.(2019全国卷理)已知集合 1,0,1,2A, 2 |1Bx x,则ABI() A. 1,0,1B.0,1C. 1,1 D. 0,1,2 【解析】因为 2 |1 |11Bx xxx,又 1,0,1,2A,所以ABI1,0,1 .故选 A. 【答案】 A 2.(2019全国卷理)若(1i)2iz,则 z() A.1iB.1iC.1iD.1i 【解析】由(1i)2iz,得 2i2i(1i)2i(1i) i(
3、1i)1i 1i(1i)(1i)2 z.故选 D 【答案】 D 3.(2019 全国卷理)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位 学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼梦的学生共有80 位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60位,则该校阅读过西游记的学生 人数与该校学生总数比值的估计值为() A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8 【解析】设调查的100 位学生中阅读过西游记的学生人数为x,则806090x,解得70x, 所以该校阅读过西游记的学生人数与该校总人数的比值的
4、估计值为 70 0.7 100 ,故选 C. 第2页(共 13 页) 【答案】 C 4.(2019全国卷理) 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x 的系数为() A.12B.16C.20D.24 【解析】 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x 的系数为 31 44 1C2C12.故选 A. 【答案】 A 5.( 2019 全国卷理)已知各项均为正数的等比数列 n a的前4项和为15,且 531 34aaa ,则 3 a() A.16B.8C.4D.2 【解析】设正数的等比数列 n a的公比为q,则 1 23 1111 42 111 15 0 , , , 34 0a aa qa qa
5、 q a qqa q a 解得 1 1, 2, a q 所以 2 31 4aa q故选 C. 【答案】 C 6.(2019全国卷理)已知曲线eln x yaxx 在点 (1, e)a处的切线方程为2yxb,则() A.ea,1bB.ea,1b C. 1 ea,1bD. 1 ea,1b 【解析】eln1 x yax, 1 |e1 x kya,所以切线方程为e( e1)(1)yaax, 即( e1)1yax.又因为切线方程为2yx b, 所以 e12 1 a b , , 即 1 ea,1b.故选 D. 【答案】 D 7.(2019全国卷理)函数 3 2 22 xx x y 在6,6 的图象大致为(
6、) A.B. C.D. 第3页(共 13 页) 【解析】因为 3 2 ( ), 6,6 22 xx x yf xx ,所以 33 2()2 ()( ) 2222 xxxx xx fxfx ,所以( )fx 是 奇函数,排除选项C.当4x时, 3 44 24128 (7,8) 1 22 16 16 y ,排除选项A,D.故选 B. 【答案】 B 8.( 2019 全 国 卷 理 ) 如 图 , 点N为 正 方 形ABCD的 中 心 ,ECD为 正 三 角 形 , 平 面 ECDABCD平面,M是线段ED的中点,则() A.BMEN,且直线BM,EN是相交直线 B.BMEN,且直线BM,EN是相交
7、直线 C.BMEN,且直线BM,EN是异面直线 D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线 【解析】取CD 的中点 O,连接 EO,ON.由ECD是正三角形,平面ECD 平面 ABCD,知 EO平 面 ABCD,所以 EOCD,EOON.又 N 是正方形ABCD 的中心,所以ONCD. 以 CD 的中点 O 为原点, ON uuu r 方向为 x 正方向建立空间直角坐标系,如图所示. 不妨设2AD,则(0,0,3)E,(0,1,0)N, 13 ,0, 22 M,( 1,2,0)B, 所以 22 |1(3)2EN, 2 33 |47 24 BM , 所以 ENBM . 连接 BD,BE, 因为点
8、N 是正方形ABCD 的中心,所以点N 在 BD 上,且BNDN, 所以 BM, EN 是DBE的中位线, 所以 BM, EN 必相交 .故选 B. 第4页(共 13 页) 【答案】 B 9.(2019全国卷理)执行如图的程序框图,如果输入的为0.01,则输出 s的值等于() A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 【解析】0.01, 1 1,0,011, 2 xssxx不成立; 11 1, 24 sxx不成立; 111 1, 248 sxx不成立; 1111 1, 24816 sxx不成立; 11111 1, 2481632 sxx不成立; 1
9、11111 1, 248163264 sxx不成立; 1111111 1, 248163264128 sxx成立, 此时输出 6 1 2 2 s,故选 C. 【答案】 C 第5页(共 13 页) 10.(2019 全国卷理)双曲线C: 22 1 42 xy 的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为 坐标原点,若| |POPF ,则PFO的面积为() A. 3 2 4 B. 3 2 2 C. 2 2 D. 3 2 【解析】双曲线 22 1 42 xy 的右焦点坐标为坐标为(6,0) ,一条渐近线的方程为 2 2 yx ,不妨设点 P在第一象限,由于| |POPF ,则点 P的横坐标为 6 2
10、,纵坐标为 263 222 ,即 PFO 的底边 长为6 ,高为 3 2 ,所以它的面积为 1332 6 224 .故选 A. 【答案】 A 11.(2019 全国卷理)设( )f x 是定义域为R的偶函数,且在(0,) 单调递减,则() A. 23 32 3 1 log22 4 fffB. 23 32 3 1 log22 4 fff C. 23 32 3 1 22log 4 fffD. 23 32 3 1 22log 4 fff 【解析】因为( )f x 是定义域为R 的偶函数,所以 333 1 log(log 4)(log 4) 4 fff, 又因为 23 32 3 (log 4)1220
11、f,且函数( )f x 在 (0,) 上单调递增减, 所以 23 32 3 1 22log 4 fff ,故选 C. 【答案】 C 12.( 2019 全国卷理)设函数 sin(0) 5 ( )xf x,已知( )f x 在 0,2 有且仅有5个零 点,下述四个结论:( )f x 在 (0,2 ) 有且仅有3个极大值点;( )f x 在 (0,2 ) 有且仅有2个极 小值点;( )f x 在 0, 10 单调递增;的取值范围是 12 29 , 510 其中所有正确结论的编号是 () A.B.C.D. 第6页(共 13 页) 【解析】已知 sin(0) 5 ( )xf x在 0,2 上有且仅有5
12、个零点,如图, 其图像的右端点的横坐标在区间 , )a b 上,此时( )f x 在 (0,2 ) 上 有且仅有3 个极大值点,( )f x 在 (0,2 ) 上可能有2 或 3 个极小值点,所以正确,不正确;当 0,2 x时, ,2 555 x ,由( )f x 在 0,2 上有且仅有 5个零点可得 5 2 56 ,解 得的取值范围是 12 29 , 510 ,所以正确;当 0, 10 x时, 49 551051002 x,所以 ( )f x 在 0, 10 单调递增,所以正确.故选 D. 【答案】 D 第卷 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分。 13. ( 2019 全 国 卷 理
13、) 已 知 a ,b为 单 位 向 量 , 且0a b, 若25cab , 则 cos,a c 【解析】由题意得 2 2 (25 )2|522 cos, 3 | 25 |145 | 25 | gg g g aabaa b a c |a |ab |a |ab . 【答案】 2 3 14. ( 2019 全 国 卷 理 ) 记 n S 为 等 差 数 列 n a的 前 n 项 和 , 1 0a, 21 3aa , 则 10 5 S S 【解析】由 1 0a, 21 3aa ,可得 1 2d a , 所以 1011 109 10100 2 Sada , 511 54 525 2 Sad a , 所以
14、 10 5 4 S S . 第7页(共 13 页) 【答案】 4 15.(2019 全国卷理)设 1 F , 2 F 为椭圆C: 22 1 3620 xy 的两个焦点,M为C上一点且在第一象 限若 12 MF F为等腰三角形,则M的坐标为 【解析】设 1 F 为椭圆的左焦点,分析可知点M 在以1F 为圆心,焦距为半径的圆上,即在圆 22 (4)64xy上. 因为点 M 在椭圆 22 1 3620 xy 上, 所以联立方程可得 22 22 1 3 (4)6 2 4 60 xy xy, , 解得 3 15. x y , 又因为点M 在第一象限,所以点M 的坐标为 (3, 15) . 【答案】 (3
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