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1、1 / 13 (2019 全国 1 理) 9.记 n S 为等差数列 n a的前n项和 .已知 4 0S , 5 5a ,则() A.25 n anB.310 n anC. 2 28 n SnnD. 21 2 2 n Snn 答案: A 解析: 依题意有 41 51 460 45 Sad aad ,可得 1 3 2 a d ,25 n an , 2 4 n Snn. (2019 全国 1 理) 14. 记 n S为等比数列 n a的前n项和,若 1 1 3 a, 2 46 aa,则5S . 答案: 5 S 121 3 解答: 1 1 3 a, 2 46 aa 设等比数列公比为 q 325 11
2、 ()a qa q 3q 5 S 121 3 2019 全国 2 理)19. 已知数列 n a和 n b满足1 1 a,0 1 b,434 1nnn baa,434 1nnn abb. (1)证明: nn ba是等比数列, nn ba是等差数列; (2)求 n a和 n b的通项公式 . 答案: (1)见解析 (2) 2 1 ) 2 1 (na n n , 2 1 ) 2 1 (nb n n . 解析: (1) 将434 1nnn baa,434 1nnn abb相加可得 nnnnnn bababa3344 11 , 整理可得)( 2 1 11nnnn baba ,又1 11 ba,故 nn
3、ba是首项为1,公比为 2 1 的等比数列 . 将434 1nnn baa,434 1nnn abb作差可得83344 11nnnnnn bababa, 整理可得2 11nnnn baba,又1 11 ba,故 nn ba是首项为1,公差为2的等差数列 . (2)由 nn ba是首项为1,公比为 2 1 的等比数列可得 1 ) 2 1 ( n nnba ; 2 / 13 由 nn ba是首项为1,公差为2的等差数列可得12nba nn ; 相加化简得 2 1 ) 2 1 (na n n ,相减化简得 2 1 ) 2 1 (nb n n 。 (2019 全国 3 理)5.已知各项均为正数的等比数
4、列 n a的前4项和为15,且 531 34aaa,则 3 a() A. 16B. 8C. 4D. 2 答案: C 解答: 设该等比数列的首项 1 a,公比q,由已知得, 42 111 34a qa qa, 因为 1 0a且0q,则可解得2q,又因为 23 1(1 )15aqqq, 即可解得 1 1a,则 2 31 4aa q. (2019 全国 3 理)14. 记 n S为等差数列 n a的前n项和,若 1 0a, 21 3aa,则 10 5 S S . 答案: 4 解析: 设该等差数列的公差为d, 21 3aa, 11 3ada,故 11 20,0daad, 110 1 10 15 51
5、10 2 29 2 10 2 4 5245 2 aa ad Sd aaSadd . (2019 北京理)10.设等差数列 an的前 n项和为 Sn, 若 a2=-3 , S5=-10 , 则 a5=_, Sn的最小值为 _ 【答案】(1). 0.(2). -10. 【解析】 【分析】 首先确定公差, 然后由通项公式可得 5 a的值,进一步研究数列中正项?负项的变化规律, 得到和的最小值. 【详解】等差数列 n a中, 53 510Sa, 得 32 2,3aa,公差 32 1daa, 53 20aad, 由等差数列 n a的性质得 5n时, 0 n a,6n时, n a大于 0, 所以 n S的
6、最小值为 4 S或 5 S, 即为10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式 ?等差数列的性质, 难度不大 , 注重重要知识 ?基础知识 ?基本运算 能力的考查 . 3 / 13 (2019 北京理) 20.已知数列 an ,从中选取第 i1项、第 i2项、第im 项(i 10. 因为 ck bk ck+1,所以 1kk qkq,其中 k=1,2,3,m. 当 k=1 时,有 q1 ; 当 k=2,3,m 时,有 lnln ln 1 kk q kk 设 f(x)= ln (1) x x x ,则 2 1ln ( ) x f x x 令( )0f x,得 x=e.列表如下: x (1,
7、e)e (e,+) ( )f x+ 0 f(x) 极大值 因为 ln 2ln8ln9ln3 2663 ,所以 max ln 3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q,当 k=1, 2,3,4,5 时, ln ln k q k ,即 k kq, 经检验知 1k qk也成立 因此所求m 的最大值不小于 5 若 m6 ,分别取 k=3,6,得 3 q3,且 q56 ,从而 q15 243 ,且 q15 216 , 所以 q 不存在 .因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为 5 【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合 运用
8、数学知识探究与解决问题的能力 10.设 ,a bR,数列 n a 中, 2 1 , nnn aa aab,b N , 则() 11 / 13 A. 当10 1 ,10 2 baB. 当 10 1 ,10 4 ba C. 当102,10baD. 当104,10ba 【答案】 A 【解析】 【分析】 本题综合性较强,注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发,通 过研究选项得解. 【详解】选项B:不动点满足 2 2 11 0 42 xxx 时,如图,若 1 11 0, 22 n aaa, 排除 如图,若 a为不动点 1 2 则 1 2 n a 选项 C:不动点满
9、足 2 2 19 20 24 xxx ,不动点为 ax1 2 , 令2a,则210 n a, 排除 选项 D:不动点满足 2 2 117 40 24 xxx ,不动点为 171 22 x ,令 171 22 a ,则 171 10 22 n a ,排除 . 选项 A:证明:当 1 2 b时, 222 213243 1113117 ,1 2224216 aaaaaa, 处理一:可依次迭代到 10 a; 处理二:当4n时, 22 1 1 1 2 nnn aaa,则 1 17117171 161616 log2loglog2 n nnn aaa 则 1 2 1 17 (4) 16 n n an ,则
10、 6 264 10 2 1716464631 1114710 161616216 a . 故选 A 【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a的可 12 / 13 能取值,利用“排除法”求解. 20.设等差数列n a 的前 n项和为 n S ,3 4a, 43 aS,数列 n b 满足:对每 12 , nnnnnn nSbSb SbN 成等比数列 . (1)求数列, nn ab的通项公式; (2)记 , 2 n n n a Cn b N 证明: 12+ 2,. n CCCn nNL 【答案】(1)21 n an,1 n bn n; (2)证明
11、见解析 . 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列 n a的首项和公差确定数列 n a的通项公式,然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计 算即可确定数列 n b 的通项公式; (2)结合 (1)的结果对数列 n c的通项公式进行放缩,然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不 等式 . 【详解】 (1)由题意可得: 1 11 24 3 2 33 2 ad adad ,解得: 1 0 2 a d , 则数列 n a的通项公式为. 其前 n 项和 022 1 2 n nn Sn n . 则1,1,12 nnn n nb n nbnnb成等比数列,即: 2 1112 nnn n nbn nbnnb , 据此有: 2 222 121112121 nnnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb, 故 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n nnn nn bn n nnn n n nn . (2)结合 (1)中的通项公式可得: 13 / 13 1122 21 211 n n n a n Cnn bn nnnnnn , 则 12 210221212 n CCCnnnLL. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,裂项求和的方法,数列中用放缩法证明不等式的方法等知识,意 在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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