导数进阶2双参数.pdf
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1、。 -可编辑修改 - 导数进阶 2 双参数 三、双参数中知道其中一个参数的范围型: 【例题 5】 ( 17 天津理)已知函数( ) (0) a f xxbx x ,其中a,bR (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)若对于任意的 1 ,2 2 a,不等式( )10f x在 1 ,1 4 上恒成立,求b的取值范围 解: ( 1) 2 ( )1 a fx x 当0a时,显然( )0 (0)fxx这时( )f x在(,0),(0,)上内是增函数 当0a时,令( )0fx,解得xa 当x变化时,( )fx,( )fx的变化情况如下表: ( )fx在(,)a,(),a内是增函数,在(,0)a,(0
2、,)内是减函数 ( 2)法一:化归为最值 由( 2)知,( )f x在 1 ,1 4 上的最大值为 1 () 4 f与(1)f的较大者,对于任意的 1 ,2 2 a,不等式 0(1)f x在 1 ,1 4 上恒成立,当且仅当 10 (1 1 ( 4 )10 ) f f ,即 39 4 4 9 a ba b ,对 1 ,2 2 a成立 从而得 7 4 b,满足条件的b的取值范围是( 7 , 4 法二:变量分离 ( )10f x,10() a bx x ,即 min 10() a bx x 令( )10() a g xx x , 2 22 ( )10 axa g x xx , ( )g x在 1
3、,1 4 上递减,( )g x最小值为 139397 ()442 4444 ga, 从而得 7 4 b,满足条件的b的取值范围是( 7 , 4 或用 2 (10)axb x,即 2 (10)2xb x,进一步分离变量得 2 10()bx x , 利用导数可以得到 2 10()x x 在 1 4 x时取得最小值 7 4 , 从而得 7 4 b,满足条件的b的取值范围是( 7 , 4 法三:变更主元 x (,)a a (,0)a(0,)a a (),a ( )fx 0 0 f x 。 -可编辑修改 - ( )10f x在 1 ,1 4 上恒成立,即10 a xb x ,( )100 a axb x
4、 , 1 ,1 4 x,( )a在 1 ,2 2 递增,即( )a的最大值为 2 (2)100xb x 以下同上法 说明:本题是在对于任意的 2,2a,( )1f x在 1,1上恒成立相当于两次恒成立,这样的题,往往 先保证一个恒成立,在此基础上,再保证另一个恒成立 【例题 6】设函数 432 ( )216ln (f xxaxxxba,)bR,若对于任意的 2,2a,不等式 4 ( )fxx在(0,1x上恒成立,求实数b的取值范围 解: 4 ( )fxx在(0,1x上恒成立,即 2 3 216lnxxb a x 在(0,1x上恒成立 由条件 2,2a得 2 min3 216ln 2 xxb a
5、 x , 又(0,1x, 23 216ln2xxbx ,即 32 min ( 2216ln)bxxx 设 32 ( )2216lng xxxx,则 3232 21664162(328) ( )64 xxxx gxxx xxx 令 32 ( )328xxx, 2 ( )94(94)xxxxx, 当 4 (0,) 9 x,( )0x;当 4 (,1) 9 x,( )0x, (0,1x时, 432 ( )( )80 9243 x 极小值 ,于是( )0g x, 32 ( )2216lng xxxx在(0,1x递减,( )g x的最小值为(1)0g, 0b,因此满足条件的b的取值范围是(,0 【针对练
6、习7】设函数 432 ( )2 ()fxxaxxbxR,其中a,bR若对于任意的 2,2a, 不等式( )1f x在 1,1上恒成立,求b的取值范围 四、双参数中的范围均未知型: 【例题 7】 ( 17 湖南理)已知函数 2 ( ) ( ,)f xxbxc b cR,对任意的xR,恒有( )( )fxf x (1)证明:当0x时, 2 ( )()f xxc; (2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式 22 ( )( )()f cf bM cb恒成立,求M的最小值 解: ( 1)易知( )2fxxb由题设,对任意的xR, 2 2xbxbxc,即 2 (2)0xbxcb恒成立, 2 (2)4()
7、0bcb,从而 2 1 4 b c 于是1c,且 2 21 4 b c|b,因此2()0cbccb 故当0x时,有 2 ()( )(2)(1)0xcf xcb xc c,即当0x时, 2 ( )()f xxc ( 2)由( 1)知,c|b 当c|b时,有 222 2222 ( )( )2f cf bcbbcbcb M cbcbbc 令 b t c , 则11t, 21 2 1 cb bct 而函数 1 ( )2( 11) 1 g tt t 的值域是 3 (,) 2 因此,当c|b时,M的取值集合为 3 ,) 2 。 -可编辑修改 - 当c|b时,由( 1)知,2b,2c此时( )( )8f c
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- 导数 进阶 参数
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