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1、嘉峪关市一中 2014年高三适应性考试(二) 数学(文科)试题 一、选择题(每小题5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) 1复数z满足(1 i)2iz,则复数z在复平面内对应的点在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2设集合421,A,集合,|AbAabaxxB,则集合B中有 _个元素 A4 B5 C6 D 7 3下列函数中,在(0,)上单调递减,并且是偶函数的是 A 2 yxB 3 yxClg |yxD2 x y 4观察下面频率等高条形图,其中两个分类变量xy,之间关系最强的是 5如图所示的程序框图,该算法的功能是 A计算 01
2、2 (1 2 )(22 )(3 2 ),(12 ) n n的值 B计算 123 (1 2 )(22 )(32 ),(2 ) n n的值 C计算( 123,)n 012 (222, 1 2) n 的值 D计算123,(1)n 012 (222,2 ) n 的值 6已知双曲线C: 22 22 1 xy ab (0,0)ab的焦距为2c,焦点到 双曲线C的渐近线的距离为 2 c ,则双曲线C的离心率为 A2 B3C 6 2 D 2 3 3 7ABC各角的对应边分别为cba,,满足 bc acab 1,则角 A的范围是 第 5 题图 A(0, 3 B(0, 6 C,) 3 D,) 6 8函数) 2 |
3、)(|2sin()(xxf的图象向左平移 6 个单位后关于原点对称,则函 数( )f x在0, 2 上的最小值为 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 9已知实数, x y满足: 210 2 10 xy x xy ,221zxy,则z的取值范围是 A 5 ,5 3 B0,5C0,5D 5 ,5) 3 10若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 A 1 B 2 21 C 2 21 D 1 1 11已知函数 2 ( )f xx的图象在点 11 (,()A xf x与点 22 (,()B xf x处的切线互相垂直, 并交于点P,则点P的坐标可能是 A 3 (
4、,3) 2 B(0,4)C(2,3)D 1 (1,) 4 12已知点 P,Q为圆 22 :25C xy上的任意两点,且6PQ,若PQ中点组成的区 域为M,在圆C内任取一点,则该点落在区域M上的概率为 A 3 5 B 9 25 C 16 25 D 2 5 第卷非选择题(共 90 分) 二、填空题(本题共4 个小题,每小题5 分,共 20 分. ) 13若 2 1 )cos() 2 cos(xx,则x2sin 14设 1 F、 2 F分别是椭圆1 1625 22 yx 的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标 为)4,6(,则 1 PFPM的最大值为 15已知函数 2 ( )sin 21 x f
5、 xx,则 ( 2)( 1)(0)(1)(2)fffff 16在平面直角坐标系xOy中,已知点 A的坐标为 (3, )a,aR,点P满足OPOA, R,| | 72OAOP,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 三、解答题 17设数列 n a的前n项和 1 22 n n S + =-,数列 n b满足 2 1 (1)log n n b na (1)求数列 n a的通项公式; (2)求数列 n b的前n项和 n T 18某市共有100 万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的,如图是抽样调查后得到 的工资薪金所得X 的频率分布直方图。工资薪金个人所得税税率表如表所示。表中“全月 应纳税所得额
6、”是指“工资薪金所得”减去3500 元所超出的部分(3500 元为个税起征点, 不到 3500 元不缴税)。 工资个税的计算公式为:“应纳税额” =“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算 扣除数”。 例如:某人某月“工资薪金 所得”为 5500 元,则“全月 应纳税所得 额”为 5500-3500=2000 元,应纳税 额 为200010%-105=95 (元), 在直方图的工资薪金 所得分组中,以各组的区间 中点值代表该组的各个值, 工资薪金所得落入该区间的 频率作为x 取该区间中点值 的概率 ( I )试估计该市居民每月 在工资薪金个人所得税上缴 纳的总税款; ( II)设该市居民
7、每月从工 资薪金所得交完税后,剩余 的为其月可支配额y(元), 试求该市居民月可支配额不超过7000 元的概率。 19 如图,直三棱柱 111 ABCABC中,ACAB, 1 2ABAA,M是AB 的中点, 11 AMC是等腰三角形,D为 1 CC的中点,E为BC上一点 (1)若DE平面 11 AMC,求 CE EB ; (2)平面 11 AMC将三棱柱 111 ABCABC分成两个部分, 求较小部分 与较大部分的体积之比 20已知抛物线C: 2 2(0)ypx p的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线 第 19 题图 相交于,M N两点 ,且8MN (1)求抛物线C的方程; (2)设直
8、线l为抛物线C的切线,且lMN,P为l上一点,求PM PN的最小值 21已知函数 22 2 33,(0) ( ) 2()3,(0) x xaxax f x exax ,aR (1)若函数( )yf x在1x处取得极值,求a的值; (2)若函数( )yf x的图象上存在两点关于原点对称,求a的范围 请考生在22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 23选修 44:坐标系与参数方程选讲 已知曲线 C 的参数方程为 3cos 2sin x y (为参数) , 在同一平面直角坐标系中, 将曲线C上 的点按坐标变换 1 3 1 2 xx yy 得到曲线C (1)求曲线C的普
9、通方程; (2)若点A在曲线C上,点B (3,0),当点A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨 迹方程 24选修 45:不等式证明选讲 已知函数 22 ( )69816f xxxxx (1)求( )fx( 4 )f的解集; (2)设函数( )(3),g xk xkR,若( )( )f xg x对任意的xR都成立, 求k的取 值范围 嘉峪关市一中 2014 年高三适应性考试(二) 数学(文科)答案 1 【答案】 A 【解析】由 (1 i)2iz 得, 2i2i(1i)2i+2 1i 1i(1i)(1i)2 z,则复数z在复平 面内对应的点为(1,1)Z,该点在第一象限,故选 A 2 【答案】C 【
10、解析】 ,aA bB xa b,所以2,3,4,5,6,8x,B中有 6 个元素,故 选C 3 【答案】C 【解析】四个函数中,是偶函数的有AC,又 2 yx在(0,)内单调递增,故选C 4 【答案】 D 【解析】在频率等高条形图中, a ab 与 c cd 相差很大时,我们认为两个分类变量 有关系,四个选项中,即等高的条形图中 12 ,x x所占比例相差越大,则分类 变量 ,x y关系越强,故选 D 5 【答案】C 【解析】初始值 1,0kS ,第1次进入循环体: 0 12S ,2k;当第2次进入 循环体时: 01 1222S ,3k,给定正整数n,当k n时, 最后一次进入循环体,则有:
11、01 1222S 1 2 n n ,1kn, 退出循环体,输出S(123)n 012 (222 1 2) n ,故选C 6 【答案】 D 【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为 2 c ,即 2 c b,又 222 bca ,代入得 22 43ac ,解得 24 3 e,即 2 3 3 e ,故选 D 7 【答案】 A 【 解 析 】 由1 bc acab 得 :()()() (b abc acacab, 化 简 得 : 222 bcab c,同除以 2bc得, 222 1 22 bca bc ,即 1 co s 2 A (0)A ,所以0 3 A,故选 A 8 【答案】 A 【解析】函数 ( )
12、sin(2)f xx 向左平移 6 个单位得 sin2()sin(2) 63 yxx,又其为奇函数,故则 3 k, Zk,解得= 3 k,又| 2 ,令0k,得 3 , ( )sin(2) 3 f xx,又 0, 2 x, 3 sin(2),1 32 x , 即当0x时, min 3 ( ) 2 f x ,故选 A 9 【答案】C 【解析】画出 ,x y约束条件限定的可行 域为如图阴影区域,令 221uxy ,则 1 2 u yx,先 画出直线 yx,再平移直线yx, 当经过点(2,1)A, 1 2 (,) 3 3 B时,代入 u,可知 5 5 3 u,| 0,5)zu, 故选C 10 【答案
13、】 B 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则 2 2 rh hr ,则 2hr ,则 S侧2 r h 2 4 r ,S全 22 42rr ,故圆柱的侧面积与 全面积之比为 2 22 42 4221 r rr ,故选 B 11 【答案】 D 【解析】由题, 22 1122 (,),(,)A x xB xx,( )2fxx,则过,A B两点的切线斜率 11 2kx, 22 2kx,又切线互相垂直,所以 12 1k k,即 12 1 4 x x. 两条切线方程分别为 22 111222 :2,:2lyx xxlyx xx,联立得 1212 ()2()0xxxxx, 12 xx, 12 2 xx
14、x,代入 1 l, 解得 12 1 4 yx x,故选 D 12 【答案】 B 【解析】PQ中点组成的区域为 M 如图所示, 那么在C内部任取一点落在M内 的概率为 25169 2525 ,故选 B 13 【答案】 3 4 14 【答案】 15 15 【答案】5 O4 【解析】 ( )()f xfx 1 2222 sinsin2 21212112 x xxxx xx , 且 (0)1f , ( 2)( 1)(0)(1)(2)5fffff 16 【答案】 24 【解析】点 A的坐标为(3, )a ,则| | 3OA ,又OP OA,则,O P A三点共线, | 72OA OP,则 72 | |
15、OP OA ,设OP与x轴夹角为,则OP在x轴 上的投影长度为 |cosOP 2 3216 | | OP OAOA 24,即线段OP在x 轴上的投影长度的最大值为 24 17 【解析】(1)1n时, 11 2aS,,2 分 1 22 n n S, 1 22 n n S(2)n 1 2 n nnn aSS(2)n, 数列 n a的通项公式为:2 n n a,6 分 ( 2) 2 1 (1)log2 nn b n 111 (1)1n nnn ,9 分 111 1 223 n T 11 1nn 1 1 11 n nn ,12 分 18 【解 析 】( ) 工 资 薪 金 所得 的5组 区 间 的 中
16、 点 值 依 次 为 3 000,5 000,7 000,9 000,11 000,x取这些值的概率依次为0.15, 0.3, 0.4, 0.1,0.05,算 得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0,1500,3500,5500,7500(元) ,按工资个税 的计算公式,相应的工资个税分别为:0(元) , 1500 3%045(元) ,3500 10% 105245(元), 5500 20%555545(元) ,750020%555945(元); 该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 68 45 0.3245 0.4545 0.1 945 0.05102.1325 10(元) ; ()
17、这5 组居民月可支配额y取的值分别是 12345 ,yyyyy 1 3000y(元) ; 2 5000454955y(元) ; 3 70002456755y(元); 4 90005458455y(元); 5 1100094510055y(元); 可看出7000y的有 123 ,yyy,70000.150.30.40.85P y 19【解析】 (1)取BC中点为N,连结 1 ,MN C N, ,1 分 ,MN分别为,AB CB中点 MNAC 11 AC, 11 ,A M N C四点共面,,3 分 且平面 11 BCC BI平面 11 AMNC 1 C N= 又DE 平面 11 BCC B,且DE
18、平面 11 AMC DE 1 C N D为 1 CC的中点, E是CN的中点,,5 分 1 3 CE EB ,6 分 (2)因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱, 1 AA 平面ABC, 又ACAB,则AC平面 11 ABB A 设 1 22ABAA,又三角形 11 AMC是等腰三角形,所以 111 2AMAC=. 如图,将几何体 11 AAMCC N补成三棱柱 11 AAMCC F 几何体 11 AAMCC N的体积为: 111 11 111125 2 1 121 1 23 2232212 VAMAAACCF CCNF ,9 分 又直三棱柱 111 ABCABC体积为: 1 22 12
19、 2 V,11 分 故剩余的几何体棱台 111 BMNB AC的体积为: 21 72 12 VVV 较小部分的体积与较大部分体积之比为: 1 2 5 7 V V ,12 分 20 【解析】(1)由题可知(,0) 2 p F,则该直线方程为: 2 p yx, ,1 分 代入 2 2(0)ypx p 得: 2 2 30 4 p xpx,设 1122 ( ,),(,)M x yN x y,则有 12 3xxp,3 分 8MN, 12 8xxp,即38pp,解得 p 2 抛物线的方程为: 2 4yx ,5 分 (2)设l方程为yxb,代入 2 4yx,得 22 (24)0xbxb, 因为l为抛物线C的
20、切线,0, 解得1b,:l1yx,7 分 由( 1)可知: 12 6xx, 12 1xx 设(,1)P m m,则 1122 (,(1),(,(1)PMxm ymPNxm ym 所以 1212 ()()(1)(1)PMPNxm xmymym 22 12121212 ()(1)()(1)x xm xxmy ymyym 12 6xx, 12 1x x, 2 1212 ()1616y yx x, 12 4y y, 22 1212 4()yyxx, 12 12 12 44 xx yy yy 22 1644(1)(1)PM PNmmmm ,10 分 22 2432(2)714mmm 当且仅当2m时,即点
21、P的坐标为(2,3)时,PM PN的最小值为 14, 12 分 21.【解析】 (1)当0x时,( )f x 2 2()3 x exa,( )2() x fxexa,2 分 ( )yf x在1x处取得极值 (1)0f,即2(1)0ea 解得:1ae,经验证满足题意,1ae,5 分 (2)( )yf x的图象上存在两点关于原点对称, 即存在y 2 2()3 x exa图象上一点 00 (,)xy 0 (0)x, 使得 00 (,)xy在 22 33yxaxa的图象上 则有 0 2 00 22 000 2()3 33 x yexa yxaxa 0 222 000 2()333 x exaxaxa,
22、8 分 化简得: 0 0 2 x e a x ,即关于 0 x的方程在(0,)内有解,9 分 设 2 ( ) x e h x x (0)x,则 2 2(1) ( ) x ex h x x 0x 当1x时,( )0h x;当01x时,( )0h x 即( )h x在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数 ( )(1)2h xhe,且x时,( )h x;0x时,( )h x 即( )h x值域为2 ,)e,11 分 2ae时,方程 0 0 2 x e a x 在(0,)内有解 2ae时,( )yf x的图象上存在两点关于原点对称,12 分 23. 【解析】(1)将 3cos 2sin x y
23、代入 1 3 1 2 xx yy ,得C的参数方程为 cos sin x y 曲线C的普通方程为 22 1xy,5 分 (2)设( , )P x y, 00 (,)A xy,又(3,0)B,且AB中点为P 所以有: 0 0 23 2 xx yy 又点A在曲线C上,代入C的普通方程 22 00 1xy得 22 (23)(2 )1xy 动点P的轨迹方程为 2231 () 24 xy,10 分 24. 【解析】(1) 22 ( )69816f xxxxx 22 (3)(4)|3|4|xxxx ( )(4)f xf即|3|4 |xx9 4 349 x xx 或 43 349 x xx 或 3 349 x xx 解得不等式:5x;:无解:4x 所以( )(4)f xf的解集为|5x x或4x,5分 (2)( )( )f xg x即( )|3|4|fxxx的图象恒在( )(3)g xk x图象的上方 21,4 ( )|3 |4 |7,43 21,3 xx f xxxx xx ( )(3)g xk x图 象 为 恒 过 定 点P (3,0), 且 斜 率k变 化 的 一 条 直 线 作 函 数 ( ),( )yf xyg x图象如图 , 其中2 PB k,( 4,7)A,1 PA k 由图可知,要使得( )f x的图象恒在( )g x图象的上方 实数k的取值范围为12k,10 分
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