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1、。 -可编辑修改 - 等比数列 【知识点回顾】 1. 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq,这个数列叫做等比数列,常数q称为等比数 列的公比 . 2. 通项公式与前n项和公式 通项公式: 1 1 n n qaa ,1a为首项,q为公比 . 前n项和公式:当1q时, 1 naSn 当1q时, q qaa q qa S n n n 11 )1( 11 . 3. 等比中项 如果bGa,成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项 . 即:G是a与b的等差中项a,A,b成等差数列baG 2 . 4. 等比数列的判定方法 定义法:q a a n n 1 ( Nn
2、,0q是常数) n a是等比数列; 中项法: 2 2 1nnn aaa(Nn) 且0 n a n a是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质 数列 n a是等比数列,则数列 n pa、 n pa(0q是常数)都是等比数列; 在等比数列 n a中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即, 32knknknn aaaa 为等比数列,公比为 k q. ),(Nmnqaa mn mn 若),( Nqpnmqpnm,则 qpnm aaaa; 若等比数列 n a的前n项和 n S,则 k S、 kk SS2、 kk SS 23 、 kk SS 34 是等比数列 . 【方法总结】 1. 求等比数列的公比、
3、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 例 1. 已知等比数列 n a的前n项和1 n n pS(p是非零常数 ), 则数列 n a是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 名师点拨 先由 n S 求出 n a ,再根据等差、等比数列定义作出判定. 解:1 n n pS,)2()1( 1 1 nppSSa n nnn 当 , 1p且0p时, n a是等比数列;当0p时, n a是等差数列,选C. 2. 求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论. 例 2. 若实数数列4 ,1 321 aaa是等比数列,则 2 a . 。 -可编
4、辑修改 - 名师点拨 本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式41 2 2 a,得.2 2 a 解:4 , 1 321 aaa是等比数列,41 2 2 a,得. 2 2 a 又 21, , 1aa是等比数列,Raaa 12 2 1 ,1,2 2 a. 考点一等比数列的通项与前n 项和 题型 1:已知等比数列的某些项,求某项 例 1. 已知 n a为等比数列,162,2 62 aa,则 10 a 解题思路 可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 解:方法1:81 162 2 4 5 16 12 q qaa qaa 1312281162 4 6 9 110 qaqaa 方法 2:81 2 162
5、2 64 a a q,1312281162 4 610 qaa 方法 3: n a为等比数列 13122 2 162 2 2 2 6 10 2 6102 a a aaaa 题型 2:已知前n项和 n S及其某项,求项数. 例 2. 已知 n S为等比数列 n a前n项和,93 n S,48 n a,公比2q,则项数n . 已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数 . 解题思路 利用等比数列的通项公式 1 1 n n qaa及 q qa S n n 1 )1( 1 求出 1 a及q,代入 n S可求项数n;利用等差数列、 等比数列设
6、出四个实数代入已知,可求这四个数. 解:由93 n S,48 n a,公比2q,得5322 482 93)12( 1 1 1 n a a n n n . 方法 1:设这四个数分别为dcba,,则 36 37 2 2 cb ba bdc cab ; 方法 2:设前2个数分别为ba,,则第43、个数分别为ab 3736,则 )37()36( )36(2 2 abb abb ,解得 16 12 b a 或 4 81 4 99 b a ; 方法 3:设第32、个数分别为cb,则第1个数为cb2,第1个数为 b c 2 ,则 。 -可编辑修改 - 20 16 36 2 2 c b cb b c cb 或
7、 4 63 4 81 c b ; 方法 4:设第32、个数分别为cb,设第4 ,1个数分别为 ca cca 2 2 , 2 ; 方法 5:设第43、个数分别为dc,,则设第2, 1个数分别为cd 36,37,则 25 1620 )36( )37()36(2 2 d c cdc cdc 或. 4 49 , 4 63 dc 题型 3:求等比数列前n项和 例 3. 等比数列,8 ,4,2 ,1中从第 5 项到第 10 项的和 . 解题思路 可以先求出 10 S,再求出 4 S,利用 410 SS求解;也可以先求出 5 a及 10 a, 由 10765 ,aaaa成等比数列求解. 解:由2, 1 21
8、 aa,得2q, 1023 21 )21(1 10 10 S,15 21 )21(1 4 4 S,.1008 410 SS 例 4. 已知 n S为等比数列 n a前n项和, 132 33331 n n a,求 n S 解题思路 可以先求出 n a,再根据 n a的形式特点求解. 解: 2 1 2 3 31 )31(1 33331 132 nn n n a, nnS n n n 2 1 31 )31(3 2 1 2 1 )3333( 2 1 32 即. 4 3 2 1 4 3 nS n n 例 5. 已知 n S为等比数列 na前n项和, n n na3)12(,求 n S. 解题思路 分析数
9、列通项形式特点,结合等比数列前n项和公式的推导,采用错位相减法求和. 解: n n na3)12( n n nS3)12(353331 32 ,- 1432 3)12(3)32(3533313 nn nnnS- ,得 1432 3)12()3333(232 nn n nS 63)22(3)12( 31 )31(9 23 11 1 nn n nn .33)1( 1n n nS 。 -可编辑修改 - 变式 1:已知 n a为等比数列,6, 3 876321 aaaaaa,求 131211 aaa的值 . 解:设等比数列 n a的公比为q, 6,3 876321 aaaaaa,2 321 6545
10、aaa aaa q , 131211 aaa ; 考点二证明数列是等比数列 例 6. 已知数列 n a和nb满足: 1 a,4 3 2 1 naa nn ,)213()1(nab n n n ,其中为实数, Nn. 对任意实数,证明数列 n a不是等比数列; 试判断数列 n b是否为等比数列,并证明你的结论. 解题思路 证明数列 n a不是等比数列,只需举一个反例;证明数列 n b是等比数列, 常用:定义法;中项法. 解:证明:假设存在一个实数,使 n a是等比数列,则有 31 2 2 aaa, 即, 094 9 4 94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 222 矛盾 . 所以 n
11、a不是等比数列. 解:因为21)1(3)1()213()1( 1 1 nanab n n n n n )142 3 2 ()1(183)1( 1 1 1 nana n n n n nn n bna 3 2 )213()1( 3 21 又)18(1 1 b ,所以 当)(0,18 Nnbn,此时 n b不是等比数列; 当) 8(,18 1 b时,由上可知)( 3 2 ,0 1 Nn b b b n n n ,此时 n b是等比数列 【名师点拨】等比数列的判定 方法: 定义法:q a a n n 1 ( Nn,0q是常数) n a是等比数列; 中项法: 2 2 1nnn aaa(Nn) 且0 n
12、a n a是等比数列 . 变式 1:已知数列 na的首项 1 2 3 a, 1 2 1 n n n a a a ,1,2,3,n证明:数列 1 1 na 是等比数列; C 1 111 1(1) 2 nn aa ,又 1 2 3 a, 1 11 1 2a , 数列 1 1 n a 是以 1 2 为首项, 1 2 为公比的等比数列. 考点三等比数列的性质 例 7. 已知 n S 为等比数列 n a前n项和,54 n S,60 2n S,则 n S3 . 解题思路 结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解. 解: n a是等比数列, nnnnn SSSSS 232 ,为等比数列, 3 182 36
13、)60(54 33nn SS. 【名师点拨】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法. 变式 1:已知等比数列 n a中,36)2( ,0 4624 aaaaan ,则 53 aa . 。 -可编辑修改 - 解: n a是等比数列,0 n a 36)(36)2( 2 534624 aaaaaa6 53 aa. 考点四等比数列与其它知识的综合 例 8. 设 n S为数列 n a的前n项和,已知21 n nn babS 证明:当2b时, 1 2 n n an是等比数列; 求 n a的通项公式。 解题思路 由递推公式0,naS nn 求数列的通项公式)(nfan ,主要利用: )2(
14、)1( 1 1 nSS nS a nn n ,同时注意分类讨论思想. 解: 由题意知 1 2a,且21 n nn babS, 1 11 21 n nn babS 两式相减,得 11 21 n nnn b aaba,即 1 2 n nn aba 当2b时,由知 1 22 n nn aa 于是 1 122212 nnn nn anan 1 22 n n an 又 1 1 1 210 n a ,所以 1 2 n n an是首项为 1,公比为2q的等比数列。 当2b时,由()知 11 22 nn n an,即 1 1 2 n n an 当2b时,由得 11 1 11 222 22 nnn nn aba
15、 bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 【名师点拨】退一相减是解决含有 n S的递推公式的重要手段,使其转化为不含 n S的递推公式,从而针对性的解决;在由递 推公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键. 【基础巩固】 1. 设 n a是公比为正数的等比数列,若16, 1 51 aa,则数列 n a前 7 项的和为() .A 63.B64.C 127.D128 解:由16
16、, 1 51aa,得 16 1 54 a a q,2q,.127 1 )1( 7 1 7 q qa S 2. 设等比数列 n a的公比2q, 前 n 项和为 n S,则 4 2 S a ( C ) .A2.B 4.C 2 15 .D 2 17 解:. 2 15 )1(2 21 1 )1(1 44 1 12 4 q qa qaa S 3. 已知等比数列 na满足122336aaaa,则7a( A ) .A 64.B81.C 128.D243 解:2 21 32 aa aa q,13 111 aqaa,.6421 17 7 a 。 -可编辑修改 - 4. 已知等比数列 n a的前三项依次为1a,1
17、a,4a,则na( C ) A 3 4 2 n B 2 4 3 n C 1 3 4 2 n D 1 2 4 3 n 解:5)4)(1()1( 2 aaaa, 2 3 , 4 1 qa, 1 ) 2 3 (4 n n a 5. 已知 n a是等比数列, 4 1 2 52 aa,则 13221nna aaaaa=( C ) .A)41(16 n .B)21(16 n .C)41( 3 32n .D)21( 3 32n 解: 4 1 252aa,. 2 1 ,41qa13221nna aaaaa )41( 3 32n 6已知a,b,c,d是公比为2 的等比数列,则 dc ba 2 2 等于() A
18、4 1 B 2 1 C 1 D 8 1 7已知 n a是等比数列,且0 n a,252 645342 aaaaaa,那么 53 aa的值是() A5 B6 C7 D25 8在等比数列 n a中,已知 9 1 1 a ,3 4 a,则该数列前5 项的积为() A1 B3 C1 D3 9ABC的三边a,b,c既成等比数列又成等差数列,则三角形的形状是() ARt B 等腰 C 等腰 Rt D等边 10三个数成等比数列,其积为1728,其和为38,则此三数为() A3,12,48 B4, 16,27 C8,12,18 D4,12,36 11若 6,x,y,z,54 这五个数成等比数列,则实数x的值是
19、() A36 B36 C63 D63 12.(2009广雅中学 ) 在等比数列中,已知 910 (0)aaa a, 1920 aab,则 99100 aa . 9 8 b a 解:利用 100992019109 ,aaaaaa成等比数列,得 99100 aa 9 8 b a 13 设数列 n a的前n项和为 2 2 n Sn, n b为等比数列,且.)(, 112211 baabba ()求数列 n a和 n b的通项公式;()设 n n n b a c,求数列 n c的前 n 项和 Tn. 14 已知等比数列 n a的各项都是正数,6560,80 2nn SS, 且在前 n 项中 , 最大的项为54, 求 n 的值 . 15已知数列 n a的前n项和 n S满足: 1 1 2 nn SSa. 又12 2,1aa. (1)求a的值; (2)求 n S 已知等比数列 na的前n项和为 baS n n 2,且3 1a (1)求,a b的值及数列 na的通项公式; (2)设 n n a n b,求数列 n b的前n项和 n T 。 -可编辑修改 - 欢迎您的下载, 资料仅供参考! 致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习课件等等 打造全网一站式需求
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