《几何画板》教程——从入门到精通(0616233435).pdf
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1、. . 几何画板教程从入门到精通 用几何画板做数理实验 首先请下载安装好几何画板软件,打开几何画板,可以看到如下的窗口,各部分的功能如图所示: 图 1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏,其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。 . . 案例一 四人分饼 有一块厚度均匀的三角形薄饼,现在要把它平 均分给四个人,应该如何分? 图 1-1.1 思路: 这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一: 画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部 分面积相等, (其实四个三角形全等)。如图 1-1.2。 图 1-1.2 方案二: 四等分三角形的任意一边,由等底等高的三角 形面积相
2、等,可以得出四部分面积相等,如图1-1.3。 图 1-1.3 用几何画板验证: 第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。 说明:如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件”“新绘图”,也可以新建一个绘图文件。 第二步: (1)在工具箱中选取“画线段”工具; (2)在工作区中按住鼠标左键拖动,画出一条线段。如图 1-1.4。 注意:在几何画板中,点用一个空心的圈表示。 图 1-1.4 第三步: (1)选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左 键,可以标出两点的标签,如图1-1.5: 注意:如果再点一次,又可以隐藏标签,如果想改标签 为其它字母,可以这样做: 用“文本”工具双击显示的标
3、签,在弹出的对话框中进 行修改, (本例中我们不做修改)。如图 1-1.6 A B 图 1-1.5 . . 图 1-1.6 在后面的操作中,请观察图形,根据需要标出点或线的 标签,不再一一说明 第四步: (1)再次选取“画线段”工具,移动鼠标与点A 重合,按左键拖动画出线段AC ;(2)画线段 BC,标出标 签 C,如图 1-1.7。 注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再 标上标签更方便。 A B C 图 1-1.7 第五步: (1) 用“选择”工具单击线段AB,这时线段上 出现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态;(2) 由菜单“作图”“中点”,画出线段AB 的中点,标上 标
4、签。得如图1-1.8。 注意:如果被选取的是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。 在几何画板中,选取线段是不包括它的两个端点的,以 后的问题都是这样,如果不小心多选了某个对象,可以 按 Shift 键后用左键再次单击该对象取消选取。 A B C D 图 1-1.8 第六步:用同样的方法画出其它两边的中点。得如图 1-1.9。 技巧:最快的方法是:按住Shift不放,用“选择”工 具分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由 “作图”“画中点” ( 或按快捷键Ctrl+M) ,就可以同 时画好三条边的中点。 A B C D E F 图 1-1.9 第七步:用“画线段”工具连结DE、 EF、FD,得
5、如图 1-1.10: 技巧:画线段的另一方法,在保证画线工具出现的是“画 线段”按钮 ( 不必选取 ) 的前提下。 选取两点后,由菜单“作图”“画线段”,( 或按快捷 键 Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。 本例最快的做法: 1、选取“画点”工具,按住Shift 键不放在工作区中画 三个点,这时三个顶点都保持选取状态 2、按 Ctrl+L, 可以同时画出三条边并且三边同时被选取; A B C D E F 图 1-1.10 . . 3、按 Ctrl+M ,可以同时画出三边中点且三中点同时被选 取; 4、按 Ctrl+L, 可以同时画出小三角形三条边,标上标签即 可。 第八步: (1) 按住
6、 Shift 键不放,用“选择“工具选取点 A、D、F;(2) 由菜单“作图”“多边形内部”填充多 边形内部; (3) 保持内部的选取状态,由菜单“度量” “面积”,可以量出ADF 的面积,如图1-1.11。 A B C D E F 面积 ADF = 0.77 cm 2 图 1-1.11 第九步: (1) 用同样的方法,填充并度量三角形 BDE 、ECF、DEF;(2) 选取 DEF 的内部,由菜 单“显示”“颜色”,选择其它颜色,如蓝色, 得到如图1-1.12。 A B C D E F 面积 ADF = 0.77 cm 2 面积 DBE = 0.77 cm 2 面积 ECF = 0.77 c
7、m 2 面积 DEF = 0.77 cm 2 图 1-1.2 注意:在制作过程中,要经常保存文件,以免因意外原因造成文件丢失,以下每一个例子都是这样,不 再加以说明。 归纳结论: 拖动顶点A、B、C 中的任一个,可以改变三角形的大小和形状,请观察不同情况下,四部分的面 积是否总是相等?这样做可以完成分饼的任务吗? 说明:这是通过实验来验证数学规律,不能保证结论一定是正确,一般来说,有一些结果经过了人 类的长期实践, 大家都公认了它的正确性,这时会把这个结论作为公理直接使用;而大多数情况下,实 验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么, 实验有什么用呢?实验可以帮助我们认识规律,更容易接 受知识,
8、并且常常可以让我们找到解决问题的方向。 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载案例一供参考。 练习: 1、对于方案二,四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题,四等分线段可以用哪些方法? 2、为了方便在改变等分的份数(例如要分成五份)时方法仍然能用,这里介绍利用平行线等分线段的 方法把一条线段四等分。 第一步: (1) 选取“画射线”工具;(2)移动鼠标到与点A 重合, 按住左键拖动, 画出一条以点A 为端点的射线AD , 得如图 1-1.13。 A B C D 图 1-1.13 . . 第二步: (1) 选取“画点” 工具,移动鼠标到射线AD 上, 在靠近点A 处单击画出一个点E,得
9、如图1-1.14; (2) 按住 Shift 键不放,用“选择”工具,依次选取点A、 E,由菜单“变换”“标记向量A-E” 。 说明:标记了一个向量后,可以在后面的平移变换中按 这个向量来平移,保证出现若干段相等的线段, 标记向量时,一定要注意选选择点的先后顺序。 E A B C D 图 1-1.14 第三步: (1) 用“选择”工具选取点E,由菜单“变换” “平移”,在弹出的对话框中点“确定”即可得一点 ;(2) 选取 ,做同样的操作可以得,这样 做下去,直到得到你想要的若干段相等的线段,这里是 四段,如图1-1.15。 E E D A B C E E 图 1-1.15 第四步: (1) 连
10、结 B; (2)同时选取线段B、 点 E、 、 ,由菜单“作图”“平行线”,画出了一组平 行线,如图1-1.16。 A B C D E E E E 图 1-1.16 第五步: (1) 用“选择”工具单击平行线和AB 相交处, 得到三个四等分点; (2) 选取所有平行线、射线AD 及 AD 上的点 (除 A 外), 由菜单“显示”“隐藏对象”,可以隐藏制作过程中 的辅助线。得如图1-1.17。 以下只要连结点C 和三个四等分点就行了, 注意: 在最后结果中不需要看到的对象,一般是把它隐 藏,如果你选取后删去了它,你会发现你要的四等分点 也会消失,这是因为这些点是受辅助线控制的,隐藏的 对象只是看
11、不到,但它仍然起作用。隐藏和删除是不同 的。 如有问题, 请到 http:/ 几何画板分版, 下载案 例一的练习供参考。 A B C 图 1-1.17 、自己比较一下这两种方法,在只需要四等分的情况下,哪种方法方便?,在需要其它等分的情况下, . . 哪种方法更具有一般性? 案例二 三角形的内角和 现有一块三角形的木板,用来制作一个半圆形的木 盖,请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。 图 1-2.1 思路:以三角形较短一边的一半为半径,以三个顶点为圆心画弧,得到三个扇形后拼成半圆,如图 1-2.2: 图 1-2.2 那么,如何知道拼成的一定是一个半圆呢?下面用几何画板做一个实验来说明。 方
12、案: 画一个三角形;量三个内角的度数;用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的 三角形,总有内角和是1800,那么说明拼成的一定是一个半圆形。 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC 第二步: (1) 选取“选择”工具,按住Shift 不放, 依次选取点B、A、C;(2) 由菜单中的“度量” “角度”,量出 BAC 的度数, 用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3 说明:由于每个人画的图不同,度数不一定和图 1-2.3 一样)。 注意:选一个角的关键是角的顶点要第二个选。 A B C BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60
13、.4? 图 1-2.3 第三步:由菜单“度量”“计算”弹出一个计算 器,依次点击 “ BAC= ”、 “+”、 “ ABC= ” “+”、“ ACB= ”、“确定”,如图1-2.4。 说明: “ BAC= ”在本例中是 “ BAC=45.0 0”, 这里用省略号表示,是因为每个人画的图不同,量 出的度数有可能不同,以后类似的问题都这样来表 示。 技巧:弹出计算器的方法有:(1) 由菜单“度量” “计算”; (2) 双击工作区中的任一度量值,如 “BAC= ” ; (3) 在工作区中击鼠标右键,由 “度 量”“计算”。 A B C BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60
14、.4? BAC + ABC + ACB = 180.0? 图 1-2.4 . . 归纳结论: 请按要求操作后填写下表: 序号操作现象三个角的和等于 1 观察 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 2 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成钝角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 3 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成直角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 4 用鼠标拖动其中一个顶点任意改 变三角形的形状 三个内角的和总是 结论三角形的内角和总是_ 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载案例二供参考。 练习: 1、自己画一个凸四边形,度量它的内角,计算内角和,验证凸四边形
15、的内角和是3600。 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载案例二练习1 供参考。 2、用“选择”工具同时选取点A、B,由菜单“度量”“距离”,可以度量出线段AB 的长度,请你 用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边”。 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载案例二练习2 供参考。 . . 案例三 最佳行走路线 如图 1-3.1:你身在草原上,现在要走到公路边去等车,请设计一个最佳行走路线。 图 1-3.1 思路: 把人所处位置看作一个点,公路看作一条直线,行走的路线看作线段,由垂线段最短可以找到最 佳行走路线。 方案: 画一条直线,过直线
16、外一点引直线的垂线段和斜线段,度量线段的长,动态验证垂线段最短。 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。 第二步: (1) 按住工具箱中的画线工具不放,在弹出的 工具条中选取 “画直线” 工具, 按住鼠标左键拖动画出 一条直线; (2) 用“画点”工具在直线外画一点,如图 1-3.2。 AB C 图 1-3.2 第三步: (1) 按 Shift 键,用鼠标选取点C 和直线 AB , (不要选取点A 和 B); (2) 由菜单“作图”“垂线”, 画出了过点C 垂直于 AB 的直线,如图1-3.3 说明: 虽然点 A、B在直线 AB上,但选取直线时并没有 选取直线上的点, 在后面的学
17、习中, 如果要求选取直线、 线段、 圆等对象, 这时不要把对象上的点也选取,除非 特别指明要选取这些点。 AB C 图 1-3.3 第四步: (1) 用“选择” 工具单击垂足处,定义出垂足, 标上标签D; (2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点 A、B,由“显 示”“隐藏”,把选取的对象隐藏,用“文本”工具 在直线上点一下,标出直线的标签j;(3) 选“画线段” 工具,连结线段CD,如图 1-3.4。 说明:点A、B是控制直线AB的点,通过拖动这两点, 可以改变直线的方向和位置,一般情况下, 如果不想再 改变直线的位置, 或不再画其它线经过这两个点,可以 j C D E 1-3.4 .
18、. 在制作完成后把它隐藏。 第五步: (1) 选取“画线段”工具;(2) 移动鼠标到点 C 处,按下左键拖动,当鼠标位于直线j 上时松开,如 图 1-3.5。 技巧: CE是直线 j 的斜线段,所以要保证一个端点是C, 另一个端点E只能在直线j 上移动,怎样才能保证呢?, 在画图的过程中, 移动鼠标到点C时,注意观察状态栏 中有“从点C” ,这时按下左键可以保证一个端点为C, 移动鼠标到直线j 时,状态栏中有“到点位于直线j ” 时松开, 这样点 E一定在直线上, 不能拖到直线外。在 几何画板中,状态栏的作用非常重要。 j C D E 图 1-3.5 第六步:同时选取点C、D,由“度量”“距离
19、”, 量出 CD,同理量出CE,如图 1-3.6。 j C D E CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm 图 1-3.6 归纳结论: 拖动点 E 在直线 j 上移动,观察CD 与 CE 的大小,什么时候CE=CD?,除了这个位置外的其它位置 CD 与 CE 哪一个比较大? 以上操作说明:从直线处一点引直线的所有线段中,_最短,因而最佳行走路线是走点到直线 的垂线段。 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载实例三供参考。 练习: 1、在图 1-3.6 的基础上,增加一个点F,通过度量CDF、 CEF,如图 1-3.7,拖动点 E,观察什么情 况下两个角相等,除了CD 外,
20、CE 在其它位置能和直线j 垂直吗? j C D EF CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm CDF = 90? CEF = 51? 图 1-3.7 如有问题,请到http:/ 几何画板分版,下载案例三练习供参考。 . . 案例四横梁有多长 如图1-4.1,一个三角形屋架,屋面的宽度是 13 米,立柱长5 米,那么横梁有多长? 图 1-4.1 思路: 这是直角三角形中应用勾股定理的问题,那么,是不是任意的直角三角形三边都有这种关系? 方案: 大家都已经证明过勾股定理,但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板 画一个直角三角形,度量三条边,计算两直角边的平方和,计
21、算斜边的平方,不断改变图形的大小形状 (但保持直角不变),验证定理是否总是成立。 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。 第二步:在工作区中画一条线段AB,如图 1-4.2。BA 图 1-4.2 第三步: (1) 按住 Shift,用“选择”工具选取点A 和 线段 AB;(2) 由菜单“作图”“垂线”,作出点 A 垂 直于线段AB 的直线。如图1-4.3 注意: 不要选另外一个端点B,那样过 B点也会有一条 直线与 AB垂直,本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧:只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小 和形状时总是保持垂直的关系,如果只是画出一条自己 看上去 “垂直” 的直
22、线, 就不能在改变形状时保持垂直 关系。 BA 图 1-4.3 第三步: (1) 选“画点”工具;(2) 移动鼠标到垂线上 单击,如图图1-4.4 注意: 观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击,这 样画的点永远位于直线上,不会拖到外面。 AB C 图 1-4.4 第三步: (1) 选取垂线CD,由“显示”“隐藏直线” , 把垂线隐藏;(2) 用画线段工具画出线段AC 、线段 BC,如图 1-4.5。 技巧:最后的图中应该是线段,但为了保证变化过程中 保持垂直关系, 必须先画辅助垂线,最后在不需要时把 它隐藏 。 AB C 图 1-4.5 . . 第四步:用“文本”工具单击三角形的三边,得到如
23、图 1-4.6 所示, j m n AB C 图 1-4.6 第五步:用“文本”工具双击标签n,在弹出的对话框中作如下 改动:如图1-4.7。 图 1-4.7 用同样的方法改j 为 c,改 m 为 b,如图 1-4.8。 说明:这样做是为了照顾我们的数学习惯,或者是题目本身的要 求,这种改点或线的标签的方法,在操作过程中会经常用到。 c b a AB C 图 1-4.8 第七步: 同时选取线段a、b、c,由菜单 “度量”“长 度” ,可以同时量出三条边的长度,如图1-4.9 c b a AB C c = 2.70 cma = 3.03 cm b = 1.39 cm 图 1-4.9 第八步:弹出
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