辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题Word含解析.pdf
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1、辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试数 学(理)试题(解析版) 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识为载体,以基本能力测试为主导,重视学 生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、 、指数函数对数函 数、导数、函数的性质、椭圆,导数,数列,立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能 力,是份比较好的试卷. 【题文】 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。 【题文】 1已知集合RxyyNxxxM x ,2, 2 ,则M N ( ) A)( 1 ,0 B 1 ,0 C) 1 ,0 D 1 , 0( 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】 A
2、 由 M=x01x,N=y0y则MN1 , 0(, 故选 A. 【思路点拨】先求出M,N 再求出MN。 【题文】 2. 已知平面、, 则下列命题中正确的是 ( ) Abbaa,则, B,则, Cbaba,则, D,则, 【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5 【答案解析】D A选项中 b可能跟斜交, B选项中可能与垂直, C选项中 a可能与 b 不 垂直,故D选项正确,故选D. 【思路点拨】根据平面与直线的位置关系求结果。 【题文】 3已知命题 2 :1 1 x p x ,命题:()(3)0qxax,若p是q的充分不必要条件, 则实数a的取值范围是() A3, 1 B3, 1 C
3、, 1 D, 3 【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】C 对于命题 2 :1 1 x p x ,解得 -1 x1,则 A=(-1,1) 对于命题q:( x+a)( x-3) 0,其方程的两根为-a 与 3,讨论如下,若两根相等, 则 a=-3 满足题意 若-a3,则 a-3 则不等式解集为(- ,-a)( 3,+),由 p 是 q 的充分不必要条件, 得-a1 ,得 a -1,故符合条件的实数a 的取值范围 -3a -1 若-a3,即 a-3,则不等式解集为(- ,3)( -a,+),满足p 是 q 的充分不必要条 件,得 a-3,综上知,符合条件的实数a 的取值范围是(- , -1故选
4、C 【思路点拨】求解本题要先对两个命题进行化简,解出其解集,由p 是 q 的充分不必要条件 可以得出p 命题中有等式的解集是q 命题中不等式解集的真子集,由此可以得到参数a 的不 等式,解此不等式得出实数a 的取值范围 【题文】 4在ABC中,90C,且3CACB,点M满足 MABM2则CBCM等 于() A 2 B3 C3 D6 【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案解析】B 由题意得AB=32, ABC 是等腰直角三角形, 1 () 3 CMCBCAABCB=CA CB+ 1 3 AB CB=0+ 1 3 |AB|?|CB|cos45 = 1 3 32 3 2 2 =3,故选 B 【
5、思路点拨】由 1 () 3 CMCBCAABCB,再利用向量AB和CB的夹角等于45 ,两个 向量的数量积的定义,求出CM CB的值 【题文】 5一个棱锥的三视图如图(单位为cm),则该棱锥的全面积是 ( ) A、4+26 B、4+6 C 、4+22 D、4+2 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】 A 由三视图可知:原几何体是一个如图所示的三棱锥,点O 为边 AC 的中点, 且 PO 底面 ABC ,OB AC ,PO=AC=OB=2 可求得 S PAC= 1 2 22=2, SAB C= 1 2 22=2 POAC,在RtPOA中,由勾股 定理 得 PA= 22 2 2P
6、OOA=5 同理 AB=BC=PC=PA=5由 PO底面 ABC ,得 PO OB , 在 RtPOB 中,由勾股定理得PB= 22 POOB=22 由于 PAB 是一个腰长为5,底边长为22 的等腰三角形,可求得底边上的高h= 22 ( 5)(2)=3 SPAB= 1 2 223=6同理 SPBC=6故该棱锥的全面积=2+2+6+6=4+ 26 故答案为4+26 【思路点拨】由三视图可知:原几何体是一个如图所示的三棱锥,点O为边 AC 的中点,且 PO 底面 ABC ,OB AC,PO=AC=OB=2据此可计算出该棱锥的全面积 【题文】 6.把函数) 6 sin( xy图象上各点的横坐标缩短
7、到原的 2 1 倍(纵坐标不变) ,再 将 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 , 那 么 所 得 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 ( ) A 2 x B 4 x C 8 x D 4 x 【知识点】函数sin()yAx的图象与性质C4 【答案解析】A y=sin(x+ 6 )图象上各点的横坐标缩短到原的 2 1 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x+ 6 );再将图象向右平移 3 个单位,得函数y=sin2(x- 3 )+ 6 =sin(2x- 2 ),x=- 2 是其 图象的一条对称轴方程故选A 【思路点拨】先对函数y=sin(x+ 6 )进行图象变换,再根据正弦函数
8、对称轴的求法, 即令 x+= 2 +k 即可得到答案 【题文】 7函数log (3) 1(0,1) a yxaa且的图象恒过定点A,若点 A在直 线10mxny上,其中 m ,n 均大于 0,则 nm 21 的最小值为 A 2 B4 C8 D 16 () 【知识点】基本不等式 2 ab abE6 【答案解析】Cx=-2 时, y=log a1-1=-1 , 函数 y=log a(x+3 )-1(a0,a 1)的图象恒过定点( -2,-1)即 A( -2,-1), 点 A 在直线 mx+ny+1=0上, -2m-n+1=0 ,即 2m+n=1 , mn 0, m0,n0, nm 21 = 242
9、mnmn mn =2+ 4nm mn +2 4+2? 4nm mn =8, 当且仅当m= 1 4 ,n= 1 2 时取等号故选D 【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A 的坐标,代入直线方程可得m、n 的关系,再利 用 1 的代换结合均值不等式求解即可 【题文】 8已知实数,x y满足: 210 2 10 xy x xy ,221zxy,则z的取值范围是 ( ) A 5 ,5 3 B0,5C0,5D 5 ,5) 3 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案解析】C 由约束条件 210 2 10 xy x xy 作可行域如图, 联立 2 10 x xy ,解得 2 1 x y , A(2, -1
10、), 联立 10 210 xy xy ,解得 1 3 2 3 x y , B( 1 3 , 2 3 ) 令 u=2x-2y-1 ,则 y=x- 2 u - 1 2 ,由图可知,当y=x- 2 u - 1 2 经过点 A(2,-1)时,直线y=x- 2 u - 1 2 在 y 轴上的截距最小,u 最大, 最大值为u=22-2 (-1)-1=5 ; 当 y=x- 2 u - 1 2 经过点 B( 1 3 , 2 3 )时,直线y=x- 2 u - 1 2 在 y 轴上的截距最大, u 最小,最小值为u=2 1 3 -2 2 3 -1=- 5 3 - 5 3 u 5, z=|u| 0,5)故选: C
11、 【思路点拨】由约束条件作出可行域如图,令u=2x-2y-1 ,由线性规划知识求出u 的最值,取 绝对值求得z=|u| 的取值范围 【题文】 9 . 已知点,E F分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱 1 ,AB AA的 中点,点,M N分别是线段 1 D E与 1 C F上的点,则与平面ABCD垂直的 直线MN有条。 () A 0 B1 C2 D无数个 【知识点】空间中的垂直关系G5 【答案解析】B 设正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 2,以 C 为原点建立空间直角坐标系, 则 D1( 2,0,2), E(1,2,0), 1 D E=(-1,2, -2), C1(0,
12、0,2), F(2,2,1), 1 C F=(2,2,-1),设 1 D MDE,则 M(2- , 2 ,2-2 ), 设 11 C NtC F,则 N(2t,2t,2-t ), MN=(2t-2+ , 2t-2 ,2 -t), E F B1 A1 C1 D1 BC D A 直线 MN 与平面 ABCD 垂直, 220 220 20 t t t ,解得 =t=2 3 , 方程组只有唯一的一组解,与平面ABCD 垂直的直线MN 有 1 条故选: B 【思路点拨】设正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 2,以 C 为原点建立空间直角坐标系,利用 向量法求出与平面ABCD 垂直的直线MN 只有
13、 1 条 【题文】 10. 已知 ABC 中,内角CBA、所对的边分别为cba,且bcCa 2 3 cos, 若123,1bca,则角 B为() A. 4 B. 6 C. 3 D. 12 【知识点】解三角形C8 【答案解析】B 由 acosC+ 3 2 c=b,可得 sinAcosC+ 3 2 sinC=sinB 而 sinB=sin (A+C )=sinAcosC+cosAsinC可得 3 2 sinC=cosAsinC,sinC 0 , 所以 3 2 =cosA , A( 0, ),所以A= 6 ,C= 5 6 -B,3sin( 5 6 -B)-2sinB= 1 2 , 整理得 cos (
14、B+ 6 )= 1 2 , 0 B 5 6 , B+ 6 ( 6 , ) B+ 6 = 3 ,所以 B= 6 【思路点拨】()通过已知表达式,利用正弦定理,以及三角形的内角和,转化sinB=sin (A+C ),通过两角和的正弦函数,化简可求A 的余弦值,即可求角A; ()利用123, 1bca,通过正弦定理,三角形的内角和,转化方程只有B 的三角方 程,结合B 的范围,求角B 【题文】 11. 已知四面体PABC中, 4PA, 72AC , 32BCPB , PA平面 PBC,则四面体 PABC 的内切球半径与外接球半径的比 A. 2 16 B. 3 2 8 C. 3 2 16 D. 2 8
15、 () 【知识点】空间几何体的结构G1 【答案解析】 C 设内切球的半径为r 则V= 1 3 ABC Sr+ 1 3 PBC Sr+1 3 PAB Sr+1 3 PAC Sr求出 r.把三 棱锥补成一个三棱柱,根据勾股定理求出外接球的半径R,然后求出内切球半径与外接球半径 的比为 3 2 16 。 【思路点拨】利用分割法求出内切球的半径,根据勾股定理求出外接球的半径,再求出比值。 【题文】 12已知定义在R上的函数)(xf是奇函数且满足)() 2 3 (xfxf,3)2(f, 数列 n a满足1 1 a,且21 nn Sa nn , (其中 n S为 n a的前n项和) ,则 )()( 65
16、afaf ( ) A3B2 C3 D2 【知识点】函数的奇偶性与周期性B4 【答案解析】C :函数f( x)是奇函数 f(-x) =-f(x) f( 3 2 -x)=f(x), f( 3 2 -x)=-f(-x) f(3+x )=f(x) f(x)是以 3 为周期的周期函数 Sn=2an+n, Sn-1=2an-1+(n-1),( n2 ) 两式相减并整理得出an=2an-1-1,即 an-1=2 ( an-1-1), 数列 an-1是以 2 为公比的等比数列,首项为a1-1=-2 , an-1=-2?2n-1=-2 n,a n=-2 n+1, a5=-31 ,a6=-63 , f(a5)+f
17、(a6)=f(-31 )+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2) =-f(-2)=3 故答案为: C 【思路点拨】先由函数f(x)是奇函数和)() 2 3 (xfxf,推知f(3+x )=f(x),得到f (x)是以 3 为周期的周期函数再由a1=-1,且 Sn=2an+n,推知 a5=-31,a6=-63 计算即可 第卷(共 90 分) 【题文】 二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分. 将正确答案填在相 应位置上。 【题文】 13.已知数列 n a满足 123 n n a n ,则数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为. 【知识点】数列求和D4 【答案解析】 2
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