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1、1 普通高等学校招生全国统一考试(2 全国卷) 数学( 理)试题 一、选择题( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) (1)复数 2 3 1 i i ( ) (A)34i(B)34i(C)34i(D)34i (2)函数 1ln(1) (1) 2 x yx的反函数是 ( ) (A) 21 1(0) x yex(B) 21 1(0) x yex (C) 21 1(R) x yex(D) 21 1(R) x yex (3)若变量, x y满足约束条件 1, , 325 x yx xy , 则2zxy的最大值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)如果等差数列 n a中, 345
2、 12aaa,那么 127 .aaa( ) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 (5)不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 ( ) (A)2,3x xx或 (B)213x xx,或 (C) 213xxx ,或 (D)2113xxx ,或 (6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中若每个信封放2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同 的方法共有 ( ) (A)12 种(B)18 种(C)36 种(D)54 种 (7)为了得到函数sin(2) 3 yx的图像,只需把函数sin(2) 6 yx的图像 ( ) (A)向左平移 4 个
3、长度单位(B)向右平移 4 个长度单位 2 (C)向左平移 2 个长度单位(D)向右平移 2 个长度单位 (8)ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分 ACB,若a, b,|a|1,|b|2,则等于() (A) 12 33 ab(B) 21 33 ab(C) 34 55 ab(D) 43 55 ab (9)已知正四棱锥 SABCD中,2 3SA,那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 ( ) (A)1 (B) 3 (C)2 (D)3 (10)若曲线 1 2 yx在点 1 2 ,a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则a( ) (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 (
4、11)与正方体 1111 ABCDA BC D的三条棱 AB、 1 CC、 11 A D所在直线的距离相等 的点( ) (A)有且只有 1 个(B)有且只有 2个 (C)有且只有 3 个(D)有无数个 (12)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,过右焦点 F 且斜率为 (0)k k的直线与 C相交于 AB、两点若3AFFB uuu ruuu r ,则 k( ) (A)1 (B)2(C)3(D)2 二填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分 (13)已知a是第二象限的角, 4 tan(2 ) 3 a,则 tana (14)若 9 () a x
5、 x 的展开式中 3 x的系数是84,则a (15)已知抛物线 2 :2(0)Cypx p的准线为 l ,过(1,0)M且斜率为3的直线 与 l 相交于点 A,与C 的一个交点为 B 若AMMB uuuu ruuu r ,则 p (16)已知球 O的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与 3 圆 N 的公共弦,4AB若3OMON,则两圆圆心的距离 MN 三解答题:本大题共6 小题,共 70分解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤 (17) (本小题满分 10分)ABC中,D 为边 BC 上的一点,33BD, 5 sin 13 B, 3 cos 5 ADC,求 AD
6、 (18) (本小题满分 12分)已知数列 an 的前 n 项和 Sn(n2n) 3n. ()求lim n n n a S ; ()证明: 12 222 3 12 nn aaa n (19) (本小题满分 12分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACBC,AA1 AB,D 为 BB1的中点,E 为 AB1上的一点,AE3EB1. ()证明: DE 为异面直线 1 AB与 CD的公垂线; ()设异面直线 1 AB与 CD 的夹角为 45 ,求二面角 111 AACB的大小 4 (20) (本小题满分 12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分 别标为 T1,T2,T3,T4
7、,电流能通过 T1,T2,T3的概率都是 p,电 流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为0.999 ()求 p; ()求电流能在M 与 N 之间通过的概率; ()表示 T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期 望 ( 21) ( 本 小 题 满 分12 分 )己 知 斜 率 为1 的 直 线 l与 双 曲 线 C: 22 22 100 xy ab ab , 相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为1,3M ()求 C 的离心率; ()设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,17DFBFg,证明:过 A、 B、D 三
8、点的圆与 x 轴相切 (22) (本小题满分 12分)设函数1 x fxe 5 ()证明:当 x-1 时, 1 x fx x ; ()设当0x时, 1 x fx ax ,求 a 的取值范围 普通高等学校招生全国统一考试(2 全国卷) 数学(理)试题 答案解析 : 一、选择题 (1)A 解析: 2 3 1 i i 2 2(3)(1) (12 )34 2 ii ii. (2)D 解析:由 y,得 ln(x1)2y1,解得 xe2y 11, 故 反函数为 ye2x 11(xR)故选 D。 (3)C 解析:约束条件所对应的可行域如图由 z2xy 得 y2xz. 由图可知,当直线 y2xz 经过点 A
9、时,z 最大由,得 ,则 A(1,1) zmax2 113 6 (4)C 解析 :an 为等差数列,a3a4a512, a44. a1a2a77a428. (5)C 解析 :0) 1)(2)(3(0 ) 1( )2)(3( 0 1 6 2 xxx x xx x xx ,利用数轴 穿根法解得 -2x1 或 x3,故选 C (6)B 解析: 标号 1,2 的卡片放入同一封信有 1 3 C种方法;其他四封信放入两个信封, 每个信封两个有 2 2 2 2 2 4 A A C 种方法,共有18 2 2 2 2 2 41 3 A A C C种,故选 B. (7)B 解析:sin(2) 6 yx=sin 2
10、() 12 x,sin(2) 3 yx=sin 2() 6 x,所 以将sin(2) 6 yx的图像向右平移 4 个长度单位得到sin(2) 3 yx的图 像,故选 B. (8)B 解析:因为 CD 平分ACB,由角平分线定理得 ADCA2 = DBCB1 ,所以 D 为 AB 的三等分点,且 22 ADAB(CBCA) 33 uu u ruu u ruuu ru uu r ,所以 2121 CDCA+ADCBCAab 3333 uuu ruuu ruuu ru uu ruuu rrr ,故选 B. (9)C 解析:本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题 . 设底面边长为 a,则高
11、2 12) 2 2 ( 2 22aa SAh, 所以体积 642 2 1 12 3 1 3 1 aahaV, 7 设 : 64 2 1 12aay,则 53 348aay,当y取 最 值 时 , 0348 53 aay,解 得a=0 或a=4 时 ,体 积 最 大 ,此 时 2 2 12 2 a h,故选 C. (10)A 解析: 33 22 11 , 22 yxka,切线方程是 13 22 1 () 2 yaaxa,令 0x, 1 2 3 2 ya,令0y,3xa , 三 角 形 的 面 积 是 1 2 13 318 22 saa,解得64a.故选 A. (11)D 解析: 直线 B1D 上
12、取一点,分别作 PO1, PO2, PO3垂直于 B1D1, B1C, B1A 于 O1,O2,O3则 PO1平面 A1C1,PO2平面 B1C,PO2平 面 A1B,O1,O2,O3分别作 O1NA1D1,O2MCC1,O3QAB, 垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线定理可得, PNA1D1;PMCC1;PQAB,由于正方体中各个表面、对等角全等, 所以 PO1=PO2=PO3,O1N=O2M=O3Q,PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. (12)B 解析:设直线 l 为椭圆的有准线,e为离心率,
13、过 A,B 分别作 AA1, BB1垂直于 l,A1,B 为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E,由第二 定义得, .,2 ,2tan, 3 6 sin , 3 3 2 1 |4 |2 | cos , |3 |,3, | | , | | 111 Bk BAEBAE eBF e BF AB AE BAE e BF AAFBAF e BF BB e AF AA 故选即 得由 8 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20分 (13) 1 2 解析:由 4 tan(2 ) 3 a得 4 tan2 3 a,又 2 2 tan4 tan2 1tan3 a,解 得 1 tantan2
14、2 或,又a是第二象限的角,所以 1 tan 2 . (14)1 解析:展开式中 3 x的系数是 333 9( )8484,1Caaa. (15)2 解析:过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,AMMB u uu u ruu u r ,M 为中点, 1 BMAB 2 ,又斜率为3, 0 BAE30, 1 BEAB 2 , BMBE , M 为抛物线的焦点,p2. (16)3 解析:设 E 为 AB 的中点,则 O,E,M,N 四点共面,如图, 4AB,所以 2 2 AB OER2 3 2 ,ME=3,由球的截面性 质,有OMME,ONNE,3OMON,所以MEO 与NEO 全等,所以 MN
15、 被 OE 垂直平分,在直角三角形中,由面积相等,可 得, ME MO MN=23 OE g 三、解答题:本大题共6 小题,共 70分解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤 (17)解: 由. 2 0 5 3 cosBADC知 由已知得. 5 4 sin, 13 12 cosADCB 从而)sin(sinBADCBAD BADCBADCsincoscossin 13 5 5 2 13 12 5 4 . 65 33 由正弦定理得 9 , sinsinBAD BD B AD 所以 BAD BBD AD sin sin .25 65 33 13 5 33 (18)解: (I) n nn n n n
16、 n S SS S a limlim )1 (lim 1 n n n S S ,lim1 1 n n n S S , 3 1 3 1 1 1 limlim 1 n n S S n n n n 所以. 3 2 lim n n n S a (II)当 n=1 时,;36 1 2 1 S a 当1n时, 2 2 2 2 2 1 21n aa 2 1 2 12 2 1 21n SSSSS nn nn S n S nn SS 2 1 22 2 22 1 22 1 ) 1 )1( 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ( 2 n Sn .33 2 2 nn n nn 所以,当 ,1时n.3 21
17、 22 2 2 1nn n aaa (19)解: (1)证明:连结 A1B,记 A1B 与 AB1的交点为 F, 因为面 AA1B1B 为正方形,故 A1BAB1,且 AFFB1,又 AE3EB1,所 10 以 FEEB1,又 D 为 BB1的中点,故 DEBF,DEAB1. 作 CGAB,G 为垂足,由 ACBC 知,G 为 AB 中点 又由底面 ABC面 AA1B1B,得 CG面 AA1B1B, 连结 DG,则 DGAB1,故 DEDG,由三垂线定理,得 DECD, 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 (2)因为 DGAB1,故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角,CD
18、G45 , 设 AB2,则 AB12,DG,CG,AC, 作 B1HA1C1,H 为垂足, 因为底面 A1B1C1面 AA1C1C, 故 B1H面 AA1C1C. 又作 HKAC1, K 为垂足,连结 B1K, 由三垂线定理,得 B1KAC1, 因 此B1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角 B1H, HC1, AC1,HK, tanB1KH. 所以二面角 A1-AC1-B1的大小为 arctan. (20)解: 记 A1表示事件,电流能通过.4,3 ,2, 1, 1 IT A 表示事件: 321 ,TTT中至少有一个能通过电流, 11 B 表示事件:电流能在M 与 N 之间通过。 (I
19、) 321321 ,AAAAAAA相互独立, .)1 ()()()()()( 3 321321 pAPAPAPAAAPAP 又,001.0999.01()1)(PAP 故.9 .0,001.0)1( 2 pp (III)由于电流能通过各元件的概率都是0.9,且电流能通过各元件相互独 立。 故)9.0, 4( B .6.39.04E (22)解:(1)当 x1 时,f(x),当且仅当 e x1 x.令 g(x)exx1, 则 g(x)ex1. 当 x0 时,g(x)0 ,g(x)在0,) 上是增函数; 当 x0 时,g(x)0 ,g(x)在( ,0上是减函数 于是 g(x)在 x0 处达到最小值
20、,因而当 xR 时,g(x) g(0),即 ex x1. 所以当 x1 时,f(x). (2)由题设 x0 ,此时 f(x) 0. 当 a0 时,若 x,则0,f(x)不成立; 当 a0 时,令 h(x)axf(x)f(x)x,则 f(x) 当且仅当 h(x) 0, h(x)af(x)axf(x)f(x)1af(x)axf(x)axf(x) ()当 0 a 时,由(1)知 x( x1)f(x), h(x) af(x)axf(x)a(x1)f(x)f(x)(2a1) f(x) 0, 12 h(x)在0,) 上是减函数,h(x) h(0)0,即 f(x) . ()当 a时,由()知 x f(x),
21、h(x)af(x)axf(x)axf(x) af(x)axf(x)af(x)f(x)(2a1ax)f(x), 当 0x时,h(x)0,所以 h(x)h(0)0,即 f(x),综 上,a 的取值范围是 0, (21)解: (1)由题设知,l 的方程为 yx2. 代入 C 的方程,并化简,得 (b2a2)x24a 2x4a2a2b20, 设 B(x1,y1)、D(x2,y2), 则 x1x2,x1x2, 由 M(1,3)为 BD 的中点知1,故 1,即 b23a2, 故 c2a,所以 C 的离心率 e2. (2)由知,C 的方程为 3x 2y23a2, A(a,0),F(2a,0),x1x22,x1 x20, 故不妨设 x1 a,x2 a. |BF|a2x1, |FD|2x2a. 13 |BF| |FD|(a2x1)(2x2a) 4x1x22a(x1x2)a2 5a24a8. 又|BF| |FD|17, 故 5a24a817, 解得 a1 或 a(舍去) 故|BD|x1x2|6. 连结 MA, 则由 A(1,0), M(1,3)知|MA|3, 从而 MAMBMD, 且 MAx 轴,因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处 与 x 轴相切 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切
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