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1、高 2015 级月考数学(理科)试题 一、选择题:本大题共10 个小题,每小题5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1若直线 1x 的倾斜角为,则等于( C ) (A)0 (B)45(C)90 (D)不存在 2、在直角坐标系中,已知A( 1,2) ,B(3 ,0),那么线段AB中点的坐标为 ( B ) A(2, 2) B (1,1) C( 2, 2) D( 1, 1) 3. 点(, m )关于点( n, 3)的对称点为(,),则() m , nm , nm , nm , n 4. 直线 1 l:2(1)40xmy与直线 2 l:320mxy平行,则m
2、的值为 C A.2 B. 3 C.2 或 3 D.2 或 3 5. 对任意实数m, 直线(1)260mxm y必经过的定点是C A.(1, 0 ) B.(0,3 ) C.( 6,3 ) D. 63 (,) 1mm 6. 已知ABC的斜二侧直观图如图所示,则ABC的面积为( B ) A、1 B、2 C、 2 2 D、2 7、已知空间三条直线.lmn、若l与m异面 ,且l与n异面 , 则( D ) Am与n异面 .Bm与n相交 .Cm与n平行 .Dm与n异面、相交、平行均有可 能. 8、对任意的实数k, 直线 y=kx+1 与圆 2 22 yx的位置关系一定是(C ) A相离B相切 C相交但直线不
3、过圆心 D 相交且直线过圆心 9若动点),(),( 2211yxByxA、分别在直线1l:07yx和2l:05yx上移动, 则AB中点M到原点距离的最小值为( A ) A23 B 32 C33 D24 10. 若直线0xya与半圆 2 1yx有两个不同的交点, 则实数a的取值范围是 ( A ) A.1, 2)B.1, 2 C.2,1 D.(2,1) 二、填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11、点 E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边 AB 、BC 、CD 、DA的中点,且BD AC ,则四 边形 EFGH是菱形 _. O x y 1
4、2 ()C A B 12. 已知正方体外接球的体积是 32 3 ,那么正方体的棱长等于 3 34 13. 光线自点P( 2,3)射出,经x轴反射到圆 22 (3)(4)1xy上的最短路线 长为。174 14. 已知实数x,y满足 5x12y60,则 22 yx的最小值等于 _ 13 60 15. 已知直线x 2y2k0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范 围是 _ 1k1 且k0 三、解答题:本大题共6 小题,共75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 (本小题满分13 分)有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) ,求该几何体的 表面积和体积 1
5、6:解:由图知:该几何体是一个圆锥,它的底面半径为3cm, 母 线长为 5cm , 高为 4cm ,则它的表面积为: 22 24 cmrlrS, 它的体积为: 32 12 3 1 cmhrV。 17 (本小题满分13 分)在平行四边形ABCD中,边AB所在直线方程为220xy, 点(2,0)C。 ( ) 求直线CD的方程; ( ) 求AB边上的高CE所在的直线方程 17 解: (1)平行四边形ABCD中,则 AB CD ,即 CDAB kk, 又2 AB k,则2 CD k, 则设 CD :02Cyx, 将点(2,0)C代入得4C,则 CD: 240xy。 18、 ( 本小题满分13 分) 如
6、图,在正方体 1111 ABCDA BC D中,E是 1 AA的中点, 求直线 BC于 AC所成的角。求证: 1 /AC平面BDE。 ( )90( ) 证明:在正方体 1111 ABCDABC D中,连结AC交 BD于 点 O ,连结 EO, 则有 O为 AC的中点,又E是的 1 AA的中点, EO 1 AAC为的中位线, 1 EOAC , EO平面 BED , 1 AC平面 BED , 1 AC平面 BED 19 ( 本小题满分12 分) 16. 已知圆 C的圆心坐标是(- 2 1 ,3), 且圆 C与直线 x+2y-3=0 相交 于 P,Q 两点 , 又 OP OQ,O是坐标原点 ,求圆
7、C的方程 . 19 解: 设圆 C的方程为0 22 FEyDxyx, 其圆心为 ( 2 , 2 ED ), 则 3 2 , 2 1 2 ED D=1,E=-6 圆方程为 06 22 Fyxyx 设 P),( 11 yx,Q),( 22 yx则 P,Q 两点坐标适合方程组x 2+y2+x-6y+F=0 x+2y-3=0 消去 x 得, 5y 2-20y+12+F=0 由韦达定理得: y1+y2=4,y1y2= 5 12F x1x2 =(-2y1+3)(-2y2+3)=4 y1y2-6(y1+y2)+9= 5 274F 因为 OP OQ所以 21 21 x yy x =-1 ,即 x1x2+y1
8、y2=0 5 274F + 5 12F =0F=3 故所求圆的方程为 036 22 yxyx 20.( 本小题满分12 分) 已知直线: kx y+1+2k=0(k R), () 证明:直线过定点; ( ) 若直线交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,ABO的面积为 S,求 S的最小值并求此 时直线的方程; A E D1 CB1 D C B A 20、 () 证明:原方程可化为(x+2)k+(1-y)=0 ,则 因为不论k 为何值, A( 2,1)均为直线方程的解 所以直线恒过定点A ( 2,1) ()解:如图,令x0,则 y12kB(0,1+2k) 令 y0,则 x)0, 21 ( 21 k
9、k A k k 由 0 2 1 -k0 2 1 0 21 021 k k k k k k 或 )21() 21 ( 2 1 21 21 2 1 2 1 k k k k k k OBOAS ABC k k k kk 2 1 22 2 144 2 4222 2 1 22 k k 当且仅当(舍)时或即 2 1 k 2 1 k, 2 1 2 k k取等号 此时直线方程为:2xy3 0 21(本小题满分12 分) 已知圆的方程是:, 其中, 且 () 求证:取不为 1 的实数时,上述圆恒过定点; ()求恒与圆相切的直线的方程; 21 解: ( ) 将方程 整理得: 令解之得定点为 ()圆的圆心坐标为(,
10、),半径为 显然,满足题意切线一定存在斜率, 可设所求切线方程为,即, )1 ,2( 1 2 01 02 A y x y x 则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即恒成立, 即恒成立 比较系数得 解之得,所以所求的直线方程为 (3)圆心坐标为(,2-) ,又设圆心坐标为(x ,y) , 则有消去参数得 即所求的圆心的轨迹方程为 21. (本小题满分12 分) 如下图所示, 已知以点( 1,2)A为圆心的圆与直线 1: 270lxy 相切 . 过点( 2,0)B的动直线 l 与圆 A相交于 M , N 两点,Q是 MN 的中点, 直线 l 与 1 l相 交于点 P . ( 1)求圆 A 的方程 ;
11、 ( 2)当 | 2 19MN 时,求直线 l 的方程 . ( 3)BQ BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由. 21. (1)设 圆A 的 半 径 为R.圆A 与 直 线 1: 270lxy相 切, | 1 47| 2 5 5 R.圆 A 的方程为 22 (1)(2)20xy. (2)当直线 l 与 x轴垂直时,易知2x符合题意;当直线l 与 x轴不垂直时,设直线l 的方 程为(2)yk x, |2 19, |20191MNAQ. 由 2 |2| |1 1 k AQ k , 得 3 4 k.直 线 l 的 方 程 为 3460xy . 所求直线 l 的方程为2x或3460xy. (3),AQBP0AQ BP. ()BQ BPBAAQBP= BA BP AQ BPBA BP. 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 5 ( 2,) 2 P,则 5 (0,), 2 BP又(1,2)BA, 5BQ BPBA BP. 当直线 l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(2)yk x. 由 (2), 270, yk x xy 解得 475 (,) 1 212 kk P kk . 55 (,) 1212 k BP kk . 510 5 1 212 k BQ BPBA BP kk . 综上所述,BQ BP 是定值,且5BQ BP.
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