【数学】高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析.pdf
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1、二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问 题都可以利用这两个概率模型来解决在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重 要的下面举例进行对比辨析 例袋中有 8 个白球、 2 个黑球,从中随机地连续抽取3 次,每次取 1 个球求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数的分布列 解: (1)有放回抽样时,取到的黑球数可能的取值为,1,2,3又由于 每次取到黑球的概率均为,3 次取球可以看成3 次独立重复试验,则 1 3 5 XB, 03 0 3 1464 (0) 55125 P XC; 12 1
2、3 1448 (1) 55125 P XC; 21 2 3 1412 (2) 55125 P XC; 30 3 3 141 (3) 55125 P XC 因此,X的分布列为 2不放回抽样时,取到的黑球数可能的取值为,1,2,且有: 03 28 3 10 7 (0) 15 C C P Y C ; 12 28 3 10 7 (1) 15 C C P Y C ; 21 28 3 10 1 (2) 15 C C P Y C 因此,Y的分布列为 辨析: 通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到 某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型而不放 回抽
3、样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽 样为超几何分布模型因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样 超几何分布和二项分布都是离散型分布,超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) X0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 Y0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题 都可以利
4、用这两个概率模型来解决。在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要 的。下面举例进行对比辨析。 1.有放回抽样 :每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可 以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型。 2.不放回抽样 :取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种 抽样为超几何分布模型。因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放 回抽样还是不放回抽样。所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨 析题目条件是非常重要的(特别注意:二项分布是在n次独立重复试验的3 个条件成立时应 用的 )。 超几何分布和二项分布的区别: (1
5、)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; (2)超几何分布是“不放回”抽取,而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)。 练习题: 1. 袋中有 8 个白球、 2 个黑球,从中随机地连续抽取3 次,每次取 1 个球。求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数的分布列。 2. (2008 年四川延考 )一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:A 类、 B 类、C 类检 验员定时从该生产线上任取2 件产品进行一次抽检,若发现其中含有C 类产品或2 件都 是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整已知该生产线上生产的每件产品为A 类品,B 类品
6、和 C 类品的概率分别为0.9,0.05 和 0.05,且各件产品的质量情况互不影响 (1)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (2)若检验员一天抽检3 次,以 表示一天中需要调整设备的次数,求 的分布列 3. 今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可 以扰此计算出自己每天的碳排放量。例如:家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数 .785, 汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数0.785 等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行 了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否 则称为“非低碳族” 。这二族人数占各自小区总人数的比例
7、P 数据如下: ( I)如果甲、乙来自A 小区,丙、丁来自B 小区,求这 4 人中恰有2 人是低碳族的 概率; ( II)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2 周后随机地从A 小区中任选25 个人,记表示 25 个人中低碳族人数,求.E 4. 在“自选模块”考试中,某试场的每位同学都选了一道数学题,第一小组选数学 史与不等式选讲的有1 人,选矩阵变换和坐标系与参数方程的有5 人,第二小组 选数学史与不等式选讲的有 2 人,选矩阵变换和坐标系与参数方程的有 4 人,现 从第一、第二两小组各任选2 人分析得分情况. ()求选出的4 人均为选矩阵变换和坐标系与参
8、数方程的概率; ()设为选出的4 个人中选数学史与不等式选讲的人数,求的分布列和数学期 望 A 小区低碳族非低碳族 比例 P 2 1 2 1 B 小区低碳族非低碳族 比例 P 5 4 5 1 5. 甲、乙两人参加2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔打算采用现场答题的方式来进行, 已知在备选的10 道试题中,甲能答对其中的6 题,乙能答对其中的8 题规定每次考 试都从备选题中随机抽出3 题进行测试,至少答对2 题才能入选 (1)求甲答对试题数 的概率分布; (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率 正态分布和线性回归 高考要求 1. 了解正态分布的意义及主要性质 2. 了解线性回归的方法和简单应
9、用 知识点归纳 1正态分布密度函数: 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe,( 0, - x) 其中是圆周率;e 是自然对数的底;x 是随机变量的取值;为正态分布的均值;是正 态分布的标准差. 正态分布一般记为),( 2 N 2正态分布),( 2 N)是由均值和标准差唯一决定的分布 例 1、下面给出三个正态总体的函数表示式,请找出其均值和标准差 (1) 2 2 2 1 )( x exf ,(- x+ (2) 2 (1) 8 1 ( ) 2 2 x f xe,(-x+ 解:(1)0,1 (2)1,2 3正态曲线的性质:正态分布由参数、唯一确定,如果随机变量N(, 2) , 根据定义有:
10、=E,=D。 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交。 (2)曲线关于直线x =对称。 (3)曲线在x =时位于最高点。 (4)当x 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延 伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近。 (5)当一定时,曲线的形状由确定。越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散; 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握,后两条较难理解,因此应运用数形结合的原则,采 用对比教学 4标准正态曲线: 当 =0、 =l时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示 式是 2 2 2 1 )( x exf ,(- x+) 其相应的曲线称为标
11、准正态曲线 标准正态总体N( 0, 1 )在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率 问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: x 标准正态分布曲线 f x = 1 2 e - x2 2 x y 对于标准正态总体N(0, 1 ) ,)( 0 x是总体取值小于 0 x的概率, 即)()( 00 xxPx, 其中0 0 x,图中阴影部分的面积表示为概率 0 ()P xx 只要有标准正态分布表即可查 表解决 . 从图中不难发现: 当0 0 x时,)(1)( 00 xx;而当0 0 x时,( 0) =0.5 例 2 设),( 2 NX,且总体密度曲线的函数表达式为:
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- 数学 高考 复习 点拨 二项分布 几何 分布 辨析
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