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1、人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 人教 A版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 抛物线及其标准方程 学校: 班级: 教师: 日期: 【学情分析】: 学生已经学习过椭圆和双曲线,掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线 的几何特征,建立适当的直角坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程。 【教学目标】: ( 1) 知识与技能: 能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法;掌握抛物线 定义和抛物线标准方程的概念。 ( 2) 过程与方法: 在进一步培养学生类比、数形结合、 分类讨论和化归的数学思想方法的过
2、程中,提高学 生学习能力。 ( 3) 情感、态度与价值观: 培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。 【教学重点】: 抛物线的定义和抛物线的标准方程。 【教学难点】: ( 1) 利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 ( 2) 抛物线标准方程的推导; 【课前准备】: Powerpoint或投影片 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 【教学过程设计】: 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入抛物线的定义1. 椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离 的和等于常数2a( 12 2F Fa)的点的轨迹 . 2双曲线的定义:平面内与两定点F1
3、、F2的距 离的差的绝对值等于常数2a( 12 2F Fa)的点 的轨迹 . 3思考:与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比是常数e 的点的轨迹,当0e1 时是椭 圆 ,当 e1 时是双曲线那么,当e1 时它是 什么曲线呢? 抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定 直线 l 的距离相等的点的轨迹。点F 叫做 抛物线 的 焦点,直线 l 叫做 抛物线的准线 学生已经学过椭 圆和双曲线是如何形 成的。 通过类似的方法, 让学生了解抛物线的 形成, 从而理解并掌握 抛物线的定义。 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 二、建立抛物线的标准方程 如图,建立直角坐
4、标系xOy,使 x 轴经过点 F 且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段 KF 的中点重合 设(0)KFp p, 则焦点 F 的坐标为( 2 p , 0),准线的方程为 2 p x 设点 M(x,y) 是抛物线上任意一点,点M 到 l 的距离为d 由抛物线的定义,抛物线就是点的集合 PMMFd MF 2 2 2 p xy;d= 2 p x 2 2 22 pp xyx 化简得: 2 2(0)ypx p 注: 2 2(0)ypx p叫做 抛物线的标准方程它 表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴,坐标是 0 2 p , ,准线方程是 2 p x 探究: 抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探 究之后
5、填写下表。 根据抛物线的定义, 让学生逐步填空, 推出 抛物线的标准方程。 通过填空,让学生牢 固掌握抛物线的标准 方程。 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 三、例题讲解 例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点 (-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0 。 分析: 根据已知条件求出抛物线的标准方程中的 p 即可,注意标准方程的形式。 解: (1)设抛物线方程为y 2=-2px 或 x2=2py(p0), 则将点 (-3,2)方程得 4 2 3 p 或 9 2
6、 2 p 。 所求的抛物线方程为 2249 32 yxxy或 ( 2)令,由方程x-2y-4=0 的 =-2. 抛物线的焦点为F(0,-2). 设抛物线方程为x 2=2py。则由 2 2 p 得 2p8, 所求的抛物线方程为x 2=-8y 或令 y=0 由 x-2y-4=0 得 x=4, 抛物线焦点为(4,0) . 设抛物线方程为y 2=2px。 则由 4 2 p 得 2 p16, 所求的抛物线方程为y2=16x 注意: 本题是用待定系数法来解的,要注意 解题方法与技巧。 例 2 已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线 方程。(1)y 2=6x; (2)y=ax 2. 分析: 先写成标准方程,
7、再求焦点坐标和准线方 程。 解: (1)由抛物线方程得焦点坐标为 3 ,0 2 F ,准线 方程是 3 . 2 x ( 2 ) 将 抛 物 线 方 程 化 为 标 准 方 程 2 111 ,2,. 24 p xyp aaa ,则焦点坐标为 1 0, 4 F a , 准线方程为 1 . 4 y a 例 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴, 抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m 的值。 分析: 解本题的基本思路有两个,其一设抛物线 方程,利用点M 在抛物线上和点M 到焦点的距 离等于 5,列出关于m、p 的方程组,解关于m、 p 的方程组;其二利用抛物线的定义
8、,得点M 到 准线的距离为5,直接得p 的关系式,求出p 的 为了让学生熟 悉抛物线标准方程 而设置的。 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 值。 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) 解: (方法一)设抛物线方程为y2=-2px (p0),则 焦点 ,0 . 2 p F ,由题设可得 2 2 2 6 . 35 2 mp p m , 解之得 4 2 6 p m 或 4 2 6 p m .故所求的抛物线方 程为 y 2=-8x,的值为 26 (方法二) 由抛物线的定义可知,点 M 到准线的 距离为 5, M 的坐标为(
9、-3, m) , 2 2 p ,p=4, 故所求的抛物线方程为y 2=-8x,的值为 2 6 四、巩固练习 1选择: 若抛物线y2=2px (p 2 p ) ,则点 M 到准线的距离是_a_,点 M 的横坐标是 2 p a 四、巩固练习 3 (1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x,求它的 焦点坐标和准线方程; 围绕抛物线标准 方程练习,让学生熟练 掌握抛物线的定义和 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0, 2),求它的 标准方程 线的标准方程是x2=8y 4已知点 M 与点 F (4,0)的距离比它到直线L: x+5=
10、0 的距离小1,求点 M 的轨迹方程。 分析: 根据抛物线的定义可知,动点 M 的轨迹是 以 F 为焦点,直线x+4=0 为准线的抛物线。 又由焦点位置可得,所求的点的轨迹方程是抛 物线的标准方程。 解: 如图 8-20 所示,设点M 的坐标为M(x,y), 则由已知条件得“ 点 M 与点 F( 4,0)的距离比 它到直线L:x+5=0 的距离小1” ,就是 “ 点 M 与 点 F(4,0)的距离等于它到直线L:x+4=0 的距 离 ” ,根据抛物线的定义可知,动点M 的轨迹是 以 F 为焦点 M,直线 x+4=0 为准线的抛物线,且 所求的抛物线方程为y 2=16x. 标准方程。 五、课后练
11、习 1. (浙江 ) 函数yax 21 的图象与直线 yx相 切,则a( B ) (A) 1 8 (B) 4 1 (C) 2 1 (D)1 2. (上海) 过抛物线xy4 2 的焦点作一条直线 与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等 于 5,则这样的直线( B ) (A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在 3. 抛物线 2 4xy 上一点A的纵坐标为4,则点 根据学生情况分层 布置作业。 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) A与抛物线焦点的距离为(D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4 . (江
12、苏卷)抛物线y=4 2 x上的一点M到焦点 的距离为1,则点 M的纵坐标是 ( B) (A) 16 17 (B) 16 15 (C) 8 7 (D) 0 5求经过点A(2, 3)的抛物线的标准方程: 分析:抛物线的标准方程中只有一个参数p,因 此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求 出p值就可以写出其方程,但要注意两解的情况 解:经过点A(2, 3) 的抛物线可能有两种标 准形式: y 2 2px或x 2 2py (如图) 点A(2, 3)坐标代 入, 即 94p, 得 2p 2 9 点A(2, 3)坐标代 入x 2 2py,即 46p,得 2p 3 4 所求抛物线的标准方程是 y 2 2
13、 9 x或x 2 3 4 y 6. 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x5 0 的距离小1,求点M的轨迹方程 分析:画出示意图2-14 可知原条件M点到F ( 4, 0) 和到x 4 距离相等, 由抛物线的定义, 点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,x 4 为准 线的抛物线所求方程是y 216x 练习与测试: (说明:题目6 个(以上)其中基础题4 个,难题 2 个;每个题目应该附 有详细解答) 1选择题 (1)已知抛物线方程为yax 2( a0) ,则其准线方程为(D ) (A) 2 a x(B) 4 a x(C) a y 2 1 (D) a y 4 1 (2)抛物线 2 1 x m y
14、(m 0)的焦点坐标是(B ) (A) (0, 4 m )或( 0, 4 m )(B) (0, 4 m ) 人教 A 版选修 1-1 教案: 2.3.1 抛物线及其标准方程(含答案) (C) (0, m4 1 )或( 0, m4 1 )(D) (0, m4 1 ) (3)焦点在直线3x4y120 上的抛物线标准方程是(C ) (A) y 216x 或x 2 16y (B) y 216x 或x 212y (C) x 2 12y 或y 216x (D) x 216y 或y 2 12x 2根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)过点( 3, 4) (2)过焦点且与x轴垂直的弦长是16 解: (1)y
15、x 4 9 2 或xy 3 16 2 (2)y 2 16x 3点M到点( 0, 8)的距离比它到直线y 7的距离大1,求M点的轨迹方程 解:x 2 32y 4已知动圆M与直线 y=2 相切,且与定圆C:x 2+(y+3)2=1 外切,求动圆圆心 M的轨迹方程。 分析: 设动圆圆心为M(x,y),半径为 r ,则由题意可得M到 C(0,-3 )的距离与到直线 y=3 的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求。 解: 设动圆圆心为M(x,y), 半径为 r, 则由题意可得M 到 C(0,-3)的距离与到直线y=3 的距离相等, 则动圆圆心的轨迹是以C (0, -3) 为焦点,y=3 为准线的一条抛物线, 其方程为 x 2=-12y 。 变题:(1)已知动圆M 与 y 轴相切,且与定圆C:x 2+y2=2ax(a0)外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程。 (2)已知动圆M 与 y 轴相切,且与定圆C:x 2+y2=2ax(a0)相切,求动圆圆心 M 的轨迹方 程。 解: (1)当 x0 时, y=0;当 x0 时, y 2=4ax。 (2)本题可分外切时,当x0 时, y=0;当 x0 时,y 2=4ax。内切时当 x0 时, y=0(x a); 当 x0 时, y 2=4ax。
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