人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十七)2.3.2.2探究导学课型Word版含答案.pdf
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1、人教 A版高中数学选修1-1 课时提升作业(十七) 2.3.2.2 探究导学课型 Word 版含答案 课时提升作业( 十七 ) 抛物线方程及性质的应用 (25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分,共 25 分 ) 1. (2019全国卷 ) 已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C: y 2=8x 的焦点重合,点 A,B是 C的准线与E的两个交点,则= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 选 B.设椭圆 E的方程为+=1(ab0) ,右焦点为 (c ,0),依题意得解 得 a=4,由 b 2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E的方程为+=1,
2、因为抛物线C:y 2=8x 的准线 为 x=-2 ,将 x=-2 代入到+=1,解得 A(-2 ,3) , B(-2 ,-3) ,故=6. 2. 过抛物线y 2=4x 的焦点, 作一条直线与抛物线交于 A,B两点, 它们的横坐标之和等于5, 则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条B.有且仅有两条 C.有无穷多条D.不存在 【解析】选B.由定义 |AB|=5+2=7 , 因为 |AB|min=4,所以这样的直线有两条. 【补偿训练】 过点 M(3, 2) 作直线l与抛物线y 2=8x 只有一个交点, 这样的直线共有 ( ) A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 【解析】选B.因为点 M(3,
3、2) 在抛物线y 2=8x 的内部,所以过点 M平行 x 轴的直线 y=2 适合 题意,因此只有一条. 3. 已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C: y 2=8x 相交于 A, B两点, F为 C的焦点 . 若|FA|=2|FB| , 则 k= ( ) A.B.C.D. 【解析】选D.设 A,B两点坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2) , 由 消去 y 得, k 2x2+4x(k2-2)+4k2=0, 所以 x1+x2=,x1x2=4. 由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2, 又因为 |AF|=2|BF|,所以 x1+2=2x2+4, 所以 x1=2x2+2 代入
4、x1x2=4,得+x2-2=0, 所以 x2=1 或-2( 舍去 ) ,所以 x1=4, 所以=5,所以 k 2= , 因为 k0,所以 k=. 4.(2019 商丘高二检测) 已知抛物线x 2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB ,则 AB的中点到x 轴 的最短距离为( ) A.B.C.1 D.2 【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1 ,过 A作 AA1l于 A1,过 B作 BB1l于 B1, 设弦 AB的中点为M ,过 M作 MM1l于 M1,则|MM1|=.|AB| |AF|+|BF|(F为抛 物线的焦点 ) ,即 |AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1| 6, 2|M
5、M1| 6,|MM1| 3,故 M到 x 轴的距离d2. 【拓展延伸】 “两看两想”的应用 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关. “看到准线想焦点,看 到焦点想准线” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 【补偿训练】已知点P是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点 P到点 (0,2) 的距离与点P到该 抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.B.3 C.D. 【解析】 选 A.抛物线 y 2=2x 的焦点为 F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点 F 的距离等于它到准线l的距离, 因此要求点P到点 (0 ,2) 的距离与点P到抛物线的准线的距 离之和的最小值,
6、可以转化为求点P到点 (0 , 2) 的距离与点P到焦点 F 的距离之和的最小值, 不 难 得 出 相 应 的 最 小 值 就 等 于 焦 点F 到 点 (0 , 2) 的 距 离 . 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于 =. 5.(2019 青岛高二检测) 在平面直角坐标系内,点P到点 A(1,0),B(a,4) 及到直线x=-1 的距离都相等,如果这样的点P恰好只有一个,那么a= ( ) A.1 B.2 C.2 或-2 D.1 或-1 【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个,可以从点P满足的方程有唯一解入手. 【解析】选D.依题意得,一方面,点P应位于以点A(1,0) 为焦点、直线x=
7、-1 为准线的抛 物线 y 2=4x 上;另一方面,点 P应位于线段AB的中垂线 y-2=-(x-) 上. 由于要使这样的点P是唯一的, 因此要求方程组有唯一的实数解. 结合选项进行检验即可. 当 a=1 时,抛物线y 2=4x 与线段 AB的中垂线有唯一的公共点,适合 题意;当a=-1 时,线段AB的中垂线方程是y= x+2,易知方程组有唯一 实数解 . 综上所述, a=1 或 a=-1. 二、填空题 ( 每小题 5 分,共 15 分 ) 6. 已知点 F为抛物线y 2=-8x 的焦点, O为原点, 点 P是抛物线准线上一动点, A在抛物线上, 且|AF|=4 ,则 |PA|+|PO| 的最
8、小值是 _. 【解析】由 |AF|=4 及抛物线定义得A到准线的距离为4. 所以 A点横坐标为 -2, 所以 A(-2 ,4) 或 A(-2 ,-4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0) , 所以 |PA|+|PO| 的最小值为 |AB|= =2. 答案: 2 7.(2019 延安高二检测) 过抛物线y 2=2px(p0) 的焦点 F且倾斜角为 60的直线l与抛物线 分别交于A,B两点,则的值是 _. 【解析】设A(x1,y1) ,B(x2,y2),且 x1x2,易知直线AB的方程为 y=x-p,代入抛物 线方程y 2=2px,可得 3x 2-5px+ p 2=0,所以 x1+x2=
9、 p,x1x2=,可得x1= p,x2= ,可得 =3. 答案: 3 8.(2019 黄石高二检测) 已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0) ,直线l与抛物 线 C相交于 A,B两点 . 若 AB的中点为 (2 , 2) ,则直线l的方程为 _. 【解析】容易求得抛物线方程为y 2 =4x. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则=4x1,=4x2,两式 相减得-=4(x2-x1). 整理得=,由于 kAB=,而 AB中点为 (2 ,2) , 所以 y2+y1=4,于是 kAB= =1,因此直线方程为y-2=x-2 ,即 y=x. 答案: y=x 三、解答题 ( 每小题 10
10、分,共 20 分) 9. 已知抛物线y 2=-x 与直线 y=k(x+1) 相交于 A,B 两点 . (1) 求证 :OAOB. (2) 当 OAB的面积等于时, 求 k 的值 . 【解析】 (1) 如图所示 , 由 消去 x 得,ky 2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x 2,y2), 由根与系数的关系得y1 y2=-1,y1+y2=-. 因为 A,B 在抛物线y 2=-x 上, 所以=-x1,=-x2, 所以=x1x2. 因为 kOAkOB=-1, 所以 OA OB. (2) 设直线与x 轴交于点N,显然 k0. 令 y=0, 得 x=-1, 即 N(-1,0). 因为=+ =
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