人教版选修2-2课时作业:第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念Word版含解析.pdf
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1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念 明目标、知重点 1理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 2了解引进虚数单位i 的必要性,了解数集的扩充过程 3掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件 1复数的有关概念 (1) 复数 定义:形如abi 的数叫做复数,其中a,b R,i 叫做虚数单位a叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部 表示方法:复数通常用字母z表示,即zabi. (2) 复数集 定义:全体复数所成的集合叫做复数集 表示:通常用大写字母C表示 2复数的分类及包含关系 (1) 复数 (abi ,a,bR) 实数b0 虚数b0 纯虚数a0 非纯虚数a0 (2) 集合表
2、示: 3复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,那么abi cdi ?ac且bd. 情境导学 为解决方程x 21,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范 围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x 2 1 这个方程在实数范围内就无解, 那么怎样解决方程x 2 1 在实数系中无根的问题呢?我们能否将实数集进行扩充, 使得在新 的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题 探究点一复数的概念 思考 1 为解决方程x 22,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程 x 210 在实数 系中无根的问题呢? 答设想引入新数i ,使 i 是方程x 210
3、 的根,即 i i 1,方程x 210 有解,同 时得到一些新数 思考 2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2 1. (2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律 (3) 由于 i 20 与实数集中 a 20( aR) 矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立 (4) 若 i 2 1,那么 i 4n1i ,i4n 2 1,i4n3 i ,i4n1. 思考 3 什么叫复数?怎样表示一个复数? 答形如abi(a,bR) 的数叫做复数,复数通常用字母z表示,即zabi ,这一表示 形式叫做复数的代数形式,其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部 思考 4 什么叫虚数?什么叫纯虚数? 答对
4、于复数zabi(a,bR) ,当b0时叫做虚数;当a0 且b0 时,叫做纯虚数 思考 5 复数mni 的实部、虚部一定是m、n吗? 答不一定,只有当mR,nR,则m、n才是该复数的实部、虚部 例 1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数 2 3i ; 3 1 2i ; 2i ; ;3i ;0. 解的实部为2,虚部为 3,是虚数; 的实部为3,虚部为 1 2,是虚数; 的实部为 2, 虚部为 1,是虚数;的实部为,虚部为0,是实数;的实部为0,虚部为3,是纯虚 数;的实部为0,虚部为0,是实数 反思与感悟复数abi 中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意,b为复数
5、 的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理 由 (1) 实部为2的虚数; (2) 虚部为2的虚数; (3) 虚部为2的纯虚数; (4) 实部为2的纯虚数 解 (1)存在且有无数个,如2i 等; (2) 存在且不唯一,如12i 等; (3) 存在且唯 一,即2i ;(4) 不存在,因为纯虚数的实部为0. 例 2 当实数m为何值时,复数z m 2 m6 m (m 22m )i为(1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数 解 (1)当 m 2 2m 0 m0 ,即m2 时,复数z是实数; (2) 当 m
6、 22m 0, m0 即m0且m2时,复数z是虚数; (3) 当 m 2 m6 m 0 m 22m 0 , 即m 3 时,复数z是纯虚数 反思与感悟利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程 或不等式求参数 跟踪训练2 实数m为何值时,复数z mm2 m1 (m 2 2m 3)i是(1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数 解 (1)要使z是实数,m需满足m 22m 30,且mm 2 m 1 有意义即m10, 解得m 3. (2) 要使z是虚数,m需满足m 22m 30,且 mm2 m1 有意义即m10,解得m1 且m 3. (3) 要使z是纯虚数,m需满足 mm
7、2 m1 0,m10, 且m 22m 30, 解得m0 或m 2. 探究点二两个复数相等 思考 1 两个复数能否比较大小? 答如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小 思考 2 两个复数相等的充要条件是什么? 答复数abi 与cdi 相等的充要条件是ac且bd(a,b,c,dR) 例 3 已知x,y均是实数,且满足(2x1) i y(3 y)i ,求x与y. 解由复数相等的充要条件得 2x 1y, 1y3. 解得 x 3 2, y4. 反思与感悟两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的 充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数 跟踪训练3 已知 x 2 x
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