人教版高中数学必修三(教案)1.3算法案例(4课时).pdf
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1、第一课时算法案例 - 辗转相除法与更相减损术 教学要求 : 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损 术完整的程序框图并写出它们的算法程序. 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分 析; 教学重点 :理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 教学难点 :把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言. 教学过程 : 一、复习准备 : 1. 回顾算法的三种表述:自然语言、程序框图(三种逻辑结构)、程序语言(五 种基本语句) . 2. 提问:小学学过的求两个数最大公约数的方法?(先用两个公有的质因数 连续去除,一直除到所得的商是互质
2、数为止,然后把所有的除数连乘起来.)口 算出36 和 64 的最大公约数. 除了用这种方法外还有没有其它方法? 6436 128,36和 28 的最大公约数就是64 和 36 的最大公约数,反复进 行这个步骤,直至 842,得出 4 即是 36 和 64 的最大公约数 . 二、讲授新课: 1. 教学辗转相除法: 例 1:求两个正数 1424 和 801 的最大公约数 . 分析:可以利用除法将大数化小,然后逐步找出两数的最大公约数. (适用于两 数较大时) 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法 ,也叫欧几里德算法 ,它是由欧 几里德在公元前300 年左右首先提出的 . 利用辗转相除法求最大公
3、约数的步骤 如下: (1)用较大的数 m除以较小的数 n 得到一个商 0 S和一个余数 0 R; (2)若 0 R0, 则 n 为 m ,n 的最大公约数;若 0 R0,则用除数 n除以余数 0 R得到一个商 1 S和 一个余数 1 R; (3)若 1 R0,则 1 R为 m ,n 的最大公约数;若 1 R0,则用除数 0 R 除以余数 1 R得到一个商 2 S和一个余数 2 R;依次计算直至 n R0,此 时所得到的 1n R即为所求的最大公约数 . 由上述步骤可以看出,辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤, 且执行次数由余数是否等于0 来决定,所以我们可以把它看成一个循环 体,它的程序框
4、图如右图: (师生共析,写出辗转相除法完整的程序框 图和程序语言) 练习:求两个正数8251 和 2146 的最大公约数 . (乘法格式、除法格式) 2. 教学更相减损术: 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术 . 在九章算术 中有 更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数, 以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之. 翻译为: (1)任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数. 若是,用 2 约简;若 不是,执行第二步 .(2)以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差 比较,并以大数减小数 . 继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等 数
5、)就是所求的最大公约数. 例 2:用更相减损术求91 和 49 的最大公约数 . 分析:更相减损术是利用减法将大数化小,直到所得数相等时,这个数(等数) 就是所求的最大公约数 . (反思:辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方) 练习:用更相减损术求72 和 168 的最大公约数 . 3. 小结:辗转相除法与更相减损术及比较都是求最大公约数的方法,辗转相 除法以除法为主, 更相减损术以减法为主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对 较少;结果上, 辗转相除法体现结果是以相除余数为0 得到,而更相减损术则 以减数与差相等而得到 . 三、巩固练习: 1、练习:教材 P35第 1 题2、作业:教材
6、P38第 1 题 第二课时1.3.2 算法案例 - 秦九韶算法 教学要求 :了解秦九韶算法的计算过程, 并理解利用秦九韶算法可以减少计算次 数、提高计算效率的实质; 理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数 学的辅助作用 . 教学重点 :秦九韶算法的特点及其程序设计. 教学难点 :秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 教学过程 : 一、复习准备 : 1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623 和 1513 的最大公约数 . 2. 设计一个求多项式 5432 ( )254367f xxxxxx当5x时的值的算法 . (学生自己提出一般的解决方案:将5x代入多项式进行计算即可) 提
7、问:上述算法在计算时共用了多少次乘法运算?多少次加法运算?此方案有何 优缺点? (上述算法一共做了 5432115次乘法运算,5次加法运算 . 优 点是简单、易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项式的求值问题,而且计算效 率不高 .) 二、讲授新课: 1. 教学秦九韶算法: 提问:在计算x的幂值时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先 计算 2 x,然后依次计算 2 xx, 2 ()xxx, 2 ()xxxx的值,这样计算上述多项 式的值,一共需要多少次乘法,多少次加法? (上述算法一共做了4 次乘法运算, 5 次加法运算) 结论:第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提
8、高 运算效率,而且对于计算机来说, 做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长 得多,因此第二种做法能更快地得到结果. 更有效的一种算法是: 将多项式变形为: 5432 ()254367fxxxxxx, 依 次 计 算 2555 , 5 5421 , 21 53108 , 108 56534 , 534 572677 故(5)2677f. 这种算法就是“秦九韶算法”. (注意变形,强调格式) 练习:用秦九韶算法求多项式 432 ( )2351f xxxxx当4x时的值 . (学生板书师生共评教师提问:上述算法共需多少次乘法运算?多少次加 法运算?) 如何用秦九韶算法完成一般多项式 1 110 (
9、 ) nn nn f xa xaxa xa的求值 问题? 改写: 1 1101210 ( )() nn nnnnn f xa xaxa xaa xaxaxaxa. 首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 11nn va xa,然后由内向外逐层计 算一次多项式的值,即 212n vv xa, 323n vv xa, 10nn vvxa. 结论:秦九韶算法将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,整个 过程只需n次乘法运算和n次加法运算;观察上述n个一次式,可发出 k v的计算 要用到 1k v的值, 若令 0n va, 可得到下列递推公式: 0 1 , (1,2, ) n kknk va v
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