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1、第 1 页 共 8 页 普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第卷(选择题共 60 分) 一选择题:共12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的一项。 1.已知集合A=x| 2 230xx ,B=x|2x2,则AB= A.-2,-1 B.-1,2)C.-1,1 D.1,2) 2. 3 2 (1) (1) i i = A.1iB.1 iC.1iD.1 i 3.设函数( )f x,( )g x的定义域都为R,且( )f x时奇函数,( )g x是偶函数,则下列结论正确 的是 A.( )f x( )g x是偶函数B.|( )f x|(
2、 )g x是奇函数 C.( )f x|( )g x|是奇函数D.|( )f x( )g x|是奇函数 4.已知F是双曲线C: 22 3(0)xmym m的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为A.3 B.3 C.3mD.3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率 A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6.如图,圆 O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M, 将点M到直线OP 的距离表示为x的函数( )f x,则y=( )fx在0,
3、上的图像大致为 7.执行下图的程序框图,若输入的, ,a b k分别为 1,2,3,则输出的M= A. 20 3 B. 16 5 C. 7 2 D. 15 8 第 2 页 共 8 页 8.设(0,) 2 ,(0,) 2 ,且 1sin tan cos ,则 A.3 2 B.2 2 C.3 2 D.2 2 9.不等式组 1 24 xy xy 的解集记为 D.有下面四个命题: 1 p:( , ),22x yD xy, 2 p:( , ),22x yD xy, 3 P:( , ),23x yD xy,4p:( , ),21x yD xy. 其中真命题是 A.2p,3pB.1p,4pC.1p,2pD.
4、1p,3p 10.已知抛物线C: 2 8yx的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个焦 点,若4FPFQ uu u ru uu r ,则|QF= A. 7 2 B. 5 2 C.3 D.2 11.已知函数( )f x= 32 31axx,若( )f x存在唯一的零点 0 x,且 0 x0,则a的取值范围为 A.(2,+ )B.( -,-2)C.(1,+ )D.(- ,-1) 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 A.6 2B.4 2C.6 D.4 第卷(非选择题共90分) 本卷包括必考题和选考题两个部
5、分。第(13)题 -第( 21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第( 22)题 -第( 24)题为选考题,考生根据要求作答。 二填空题:本大题共四小题,每小题 5分。 13. 8 ()()xyxy的展开式中 22 x y的系数为.(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为. 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 1 () 2 AOABAC uuu ruuu ruuu r ,则AB uu u r 与AC u uu r
6、的夹角为. 16.已知, ,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边,a=2,且(2)(sinsin )()sinbABc bC, 则ABC面积的最大值为. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 第 3 页 共 8 页 17.(本小题满分12 分)已知数列 n a的前n项和为 n S,1a=1,0na, 1 1 nnn a aS,其 中为常数 . (I)证明: 2nn aa; ()是否存在,使得 n a 为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分12 分)从某企业的某种产品中抽取500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测 量结果得如下频率分布直方图: (I)
7、求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s(同一组数据用该区间的中点值作代表); ()由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 (,)N,其中近 似为样本平均数x, 2 近似为样本方差 2 s. (i)利用该正态分布,求(187.8212.2)PZ; (ii )某用户从该企业购买了100 件这种产品,学科网记 X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用( i)的结果,求EX. 附:15012.2 .若Z 2 ( ,)N,则()PZ=0.6826, (22 )PZ=0.9544. 19. ( 本 小 题 满
8、 分12分 ) 如 图 三 棱 锥 111 ABCA B C中, 侧面 11 BB C C为菱形, 1 ABB C. (I)证明: 1 ACAB; ()若 1 ACAB, o 1 60CBB,AB=Bc ,求二面角 111 AA BC的余弦值 . 20. (本小题满分12 分) 已知点A(0,-2) ,椭圆E: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ,F 是椭圆的焦点,直线 AF的斜率为 2 3 3 , O为坐标原点 . (I)求E的方程; ()设过点A的直线l与E相交于,P Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程 . 21. (本小题满分12 分)设函数 1 ( 0l
9、n x xbe f xaex x ,曲线( )yfx在点( 1,(1)f)处的切线 为(1)2ye x. (I)求,a b; ()证明:( )1f x. 第 4 页 共 8 页 请考生从第 (22) 、 ( 23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意: 只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分10 分)选修41:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E,且 CB=CE ()证明: D= E;学科网 ()设AD 不是 O 的直径,AD 的中点为M
10、,且 MB=MC ,证明: ADE 为等边三角形 . 23. (本小题满分10 分)选修4 4:坐标系与参数方程 已知曲线 C: 22 1 49 xy ,直线l: 2 22 xt yt (t为参数) . (I)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; ()过曲线C上任一点 P作与l夹角为 o 30的直线,交l于点A, 求|PA的最大值与最小值. 24. (本小题满分10 分)选修4 5:不等式选讲 若0,0ab,且 11 ab ab . (I) 求 33 ab的最小值; ()是否存在,a b,使得236ab?并说明理由 . 第 5 页 共 8 页 2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课
11、标I 答案 15ADCAD 6 12 CDCBBCB 13 20 14A 1590 162 17 【解析】:()由题设 1 1 nnn a aS, 121 1 nnn aaS,两式相减 121nnnn aaaa,由于0 n a,所以 2nn aa6 分 ()由题设 1 a=1, 121 1a aS,可得 21 1a,由()知 3 1a 假设 n a为等差数列,则 123 ,a a a成等差数列, 132 2aaa,解得4; 证明4时, n a为等差数列:由 2 4 nn aa知 数列奇数项构成的数列 21m a 是首项为1,公差为 4 的等差数列 21 43 m am 令21,nm则 1 2
12、n m,21 n an(21)nm 数列偶数项构成的数列 2m a是首项为3,公差为 4 的等差数列 2 41 m am 令2 ,nm则 2 n m,21 n an(2)nm 21 n an( * nN) , 1 2 nn aa 因此,存在存在4,使得 n a 为等差数列 . 12分 18 【解析】:() 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s分别为 1700.021800.091900.222000.33 2100.242200.082300.02 200 x 222 2 222 300.02200.09100.2200.33 100.24200.08300.02 s 1506
13、分 ()()由 ()知Z(200,150)N,从而 (187.8212.2)PZ(20012.220012.2)0.6826PZ9分 ()由()知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826 依题意知(100,0.6826)XB:,所以100 0.682668.26EX 12 分 19【解析】: ()连结 1 BC,交 1 BC于 O,连结 AO 因为侧面 11 BBC C为菱形,所以 1 BC 1 BC, 第 6 页 共 8 页 且 O 为 1 BC与 1 BC的中点又 1 ABBC,所以 1 BC平面ABO,故 1 BCAO又 1 BOCO, 故 1 ACA
14、B6 分 ()因为 1 ACAB且 O 为 1 BC的中点,所以 AO=CO又因为 AB=BC,所以BOABOC 故 OAOB,从而 OA ,OB, 1 OB两两互相垂直 以 O 为坐标原点,OB 的方向为x 轴正方向,OB 为单位 长,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz 因为 0 1 60CBB,所以 1 CBB为等边三角形又AB=BC, 则 3 0,0, 3 A ,1,0,0B, 1 3 0,0 3 B , 3 0,0 3 C 1 33 0, 33 AB uu ur , 11 3 1,0, 3 A BAB uu uu ruuu r 11 3 1,0 3 B CBC uuuu ruuu r
15、 设, ,nx y z r 是平面的法向量,则 1 11 0 0 n AB n AB r uuur g r uuuu r g ,即 33 0 33 3 0 3 yz xz 所以可取1, 3,3n r 设m u r 是平面的法向量,则 11 11 0 0 m AB n BC u r uuuu r g r uu uu r g ,同理可取 1,3,3m u r 则 1 cos, 7 n m n m n m r u r r u r g ru r g ,所以二面角 111 AABC的余弦值为 1 7 . 20 【解析】 () 设,0F c,由条件知 22 3 3c ,得3c又 3 2 c a , 所以
16、a=2, 222 1bac,故E的方程 2 2 1 4 x y. .6分 ()依题意当lx轴不合题意,故设直线l:2ykx,设 1122 ,P x yQ xy 将2ykx代入 2 2 1 4 x y,得 22 1416120kxkx, 第 7 页 共 8 页 当 2 16(43)0k,即 23 4 k时, 2 1,22 82 43 14 kk x k 从而 22 2 122 4143 1 14 kk PQkxx k g 又点 O 到直线 PQ 的距离 2 2 1 d k ,所以OPQ 的面积 2 2 14 43 214 OPQ k Sd PQ k , 设 2 43kt,则0t, 2 44 1
17、4 4 OPQ t S t t t , 当且仅当2t, 7 2 k时等号成立,且满足0,所以当OPQ 的面积最大时,l的方 程为: 7 2 2 yx或 7 2 2 yx. 12 分 22 【解析】 .() 由题设知得A、 B、C、D 四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E , 所以D=E 5 分 () 设 BCN 中点为,连接 MN, 则由 MB=MC,知 MN BC所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OMAD ,即 MN AD ,所以 AD/BC, 故A=CBE,又 CBE=E,故A=E由 ()(1)知D=E,所以 ADE 为等边三角 形 10
18、 分 23 【解析】 .() 曲线 C 的参数方程为: 2cos 3sin x y (为参数), 直线 l 的普通方程为:260xy5 分 ()(2)在曲线C 上任意取一点P (2cos,3sin)到 l 的距离为 5 4cos3sin6 5 d, 则 0 2 5 |5sin6 sin305 d PA,其中为锐角且 4 tan 3 . 当sin1时,|PA取得最大值,最大值为 22 5 5 ; 当sin1时,|PA取得最小值,最小值为 2 5 5 . 10分 24 【解析】 () 由 112 ab abab ,得2ab,且当2ab时等号成立, 故 3333 34 2aba bg,且当2ab时等
19、号成立, 33 ab的最小值为4 2. 5分 第 8 页 共 8 页 ()由 ()知:232 64 3abab, 由于4 36,从而不存在,a b,使得236ab. 10 分 21 【解析】 () 函数( )f x的定义域为0,, 11 2 ( )ln xxxxabb fxaexeee xxx 由题意可得(1)2,(1)ffe,故1,2ab6 分 ()由 ()知, 1 2 ( )ln x x e f xex x ,从而( )1f x等价于 2 ln x xxxe e 设函数( )lng xxx,则( )lngxxx,所以当 1 0,x e 时,( )0gx,当 1 ,x e 时,( )0g x,故( )g x在 1 0, e 单调递减,在 1 , e 单 调递增,从而( )g x在0,的最小值为 11 ( )g ee . 8 分 设函数 2 ( ) x h xxe e , 则( )1 x h xex, 所以当0,1x时,( )0h x, 当 1,x时,( )0h x,故( )h x在0,1单调递增,在1,单调递 减,从而( )h x( )g x在0,的最小值为 1 (1)h e . 综上:当0x时, ( )( )g xh x,即( )1f x. 12分
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