全国一卷理科数学高考真题和答案.pdf
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1、2016普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 理科数学 一. 选择题:本大题共12 小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 的. 1. 设集合 2 430Ax xx,230xx, 则ABI (A) 3 3, 2 (B) 3 3, 2 (C) 3 1, 2 (D) 3 ,3 2 2. 设yixi1)1 (,其中yx,是实数,则yix (A)1(B)2(C)3(D)2 3. 已知等差数列 n a前 9 项的和为27, 10 8a,则 100 a (A) 100 (B)99 (C)98 ( D)97 4. 某公司的班车在7:00 , 8:00, 8:30发
2、车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是 (A) 1 3 (B) 1 2 (C ) 2 3 (D)3 4 5. 已知方程 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n的取值范 围是 (A)1,3( B)1,3 (C)0,3(D)0,3 6. 如图 , 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径 . 若该几何体的体积是 28 3 , 则它的表面积是 (A)17(B)18(C)20(D)28 7. 函数 2 2 x yxe在2,2的图像大致为 (A)(
3、B) 1 y x 22O 1 y x 22O 1 y x 22O 1 y x 22O (C)(D) 8. 若101abc,, 则 (A) cc ab(B) cc abba( C)loglog ba acbc( D )loglog ab cc 9. 执行右面的程序框图, 如果输入的011xyn,, 则输出x,y的值满足 (A)2yx(B)3yx(C)4yx(D)5yx 10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准 线于D、E两点 . 已知 |AB|=4 2,|DE|=2 5, 则C的焦点到准线的 距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11. 平面过正方体ABCD-A1B
4、1C1D1的顶点A,/ 平面CB1D1, I平面ABCD=m,I平面AB B1A1=n, 则m、n所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 12. 已知函数( )sin()(0), 24 f xx+x,为 ( )f x的零点 , 4 x为( )yf x图像的对称轴,且( )f x在 5 18 36 ,单调,则的最大值为 (A) 11 (B)9 (C)7 (D)5 二、填空题:本大题共3 小题 , 每小题 5 分 13. 设向量a=(m,1) ,b=(1,2) ,且|a+b| 2=| a| 2 +|b| 2, 则m= 14. 5 (2)xx的展开式中,x
5、3 的系数是 (用数字填写答案) 15. 设等比数列 n a错误 ! 未找到引用源。满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2a n的最大值 为 16. 某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、乙两种新型材料 生产一件产品A需要甲材料1.5kg , 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg ,乙材料 0.3kg ,用 3 个工时生 产一件产品A的利润为 2100 元,生产一件产品B的利润为 900 元该企业现有甲材料150kg, 乙材料 90kg,则在不超过600 个工时的条件下,生产产品A、产品 B的利润之和的最大值为 元 n=n+1 结束 输出x,y x 2
6、+y2 36? x=x+ n-1 2 ,y=ny 输入x,y,n 开始 否 是 三. 解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分为12 分) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos( coscos ).C aB+bAc (I )求C; (II )若7c,ABC的面积为 3 3 2 ,求ABC的周长 18. (本小题满分为12 分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形,AF=2FD,90AFD o ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60 o (I )证明:平面ABEF平面EFDC; (II )求二面角
7、E-BC-A的余弦值 19. (本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器 , 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损 零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不 足再购买 , 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器 更换的易损零件数发生的概率, 记X表示 2 台机器三年 内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机器的同时 购买的易损零件数. (I )求
8、X的分布列; (II )若要求()0.5P Xn, 确定n的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在19n与20n之中选其一 , 应选用哪个? 20. (本小题满分12 分)设圆 22 2150xyx的圆心为A, 直线l过点B(1,0 )且与x轴不 重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. C D F 0891011 20 40 频数 更换的易损零件数 (I )证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程; (II )设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于 P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 21.
9、(本小题满分12 分)已知函数错误 ! 未找到引用源。有两个零点 . (I) 求a的取值范围; (II)设x1,x2是 fx 错误 ! 未找到引用源。的两 个零点 , 证明: 12 2xx. 请考生在22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计 分. 22. (本小题满分10 分)选修4-1 :几何证明选讲 如图,OAB是等腰三角形,AOB=120. 以O为圆心, 1 2 OA为半径作圆 . (I) 证明:直线AB与O相切; (II)点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD. 23. (本小题满分10 分)选修4 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xy
10、中,曲线C1的参数方程为 cos 1sin xat yat 错误 ! 未找到引用源。 (t为参数, a0) 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos. (I )说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (II )直线C3的极坐标方程为 0, 其中 0满足 tan0=2, 若曲线C 1与C2的公共点都在 C3上,求a 24. (本小题满分10 分)选修4 5:不等式选讲 已知函数123fxxx. (I )画出yfx的图像; (II )求不等式1fx的解集 O D C BA 2016 年高考全国 1 卷理科数学参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8
11、9 10 11 12 答案D B C B A A D C C B A B 1. 2 43013Ax xxxx, 3 230 2 Bxxx x 故 3 3 2 ABxxI 故选 D 2. 由 11i x yi 可知:1xxiyi , 故 1x xy ,解得: 1 1 x y 所以, 22 2xyixy 故选 B 3. 由等差数列性质可知: 19 5 95 992 927 22 aaa Sa,故 5 3a, 而 108a,因此公差 105 1 105 aa d 10010 9098aad 故选 C 4. 如图所示,画出时间轴: 8:208:107:507:408:308:007:30 BACD 小
12、明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时, 才能保证他等车的时间不超过10 分钟 根据几何概型,所求概率 10101 402 P 故选 B 5. 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线,则 22 30mnmn 22 3mnm 由双曲线性质知: 2222 34cmnmnm,其中c是半焦距 焦距22 24cm,解得1m 13n 故选 A 6. 原立体图如图所示: 是一个球被切掉左上角的 1 8 后的三视图 表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 2271 =42 +32 =17 84 S 故选 A 7. 22 2882.80fe,排除 A 22
13、2882.71fe,排除 B 0x时, 2 2 x fxxe4 x fxxe ,当 1 0, 4 x 时, 0 1 40 4 fxe 因此 fx 在 1 0, 4 单调递减,排除 C 故选 D 8. 对 A:由于01c,函数 c yx 在R上单调递增,因此1 cc abab , A错误 对 B:由于110c,函数 1c yx在 1,上单调递减, 11 1 cccc ababbaab , B 错误 对 C:要比较logb ac和logabc,只需比较 ln ln ac b 和 ln ln bc a ,只需比较 ln ln c bb 和 ln ln c aa ,只 需lnbb和lnaa 构造函数l
14、n1fxxx x,则ln110fxx,fx 在 1,上单调递 增,因此 11 0lnln0 lnln f af baabb aabb 又由01c得ln0c, lnln loglog lnln ab cc bcac aabb , C 正确 对 D:要比较logac和logbc, 只需比较 ln ln c a 和 ln ln c b 而函数lnyx 在 1,上单调递增,故 11 1lnln0 lnln abab ab 又由01c得ln0c, lnln loglog lnln ab cc cc ab , D 错误 故选 C 9. 如下表: 循环节运 行次数 1 2 n x xx y yny 判断 2
15、2 36xy 是否 输出 1n nn 运行前0 1 / / 1 第一次01否否2 第二次 1 2 2否否3 第三次 3 2 6是是 输出 3 2 x,6y,满足4yx 故选 C 10. 以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设 抛 物 线 为 2 2ypx0p,设 圆 的 方 程 为 222 xyr , 题目条件翻译如图: 设 0,2 2A x,, 5 2 p D , 点 0,2 2A x在抛物线 2 2ypx 上, 0 82px 点, 5 2 p D 在圆 222 xyr 上, 2 2 5 2 p r 点 0,2 2A x在圆 222 xyr 上, 22 0 8xr 联立解得:4p,焦
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