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1、1 全国高考数学试题 理科试题 一选择题:本题共18 个小题 ; 每小题 3 分,共 54 分。在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 把所选项前的字 母填在题后括号内。 (1)若双曲线实半轴长为2,焦距为 6,那么离心率是( C) (A) 2 3 (B) 2 6 (C) 2 3 (D)2 (2)函数 xtg xtg y 21 21 2 2 的最小正周期是( B ) (A) 4 (B) 2 (C)(D)2 (3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是 (A )45 0 (B)60 0 (C )90 0 (D )120 0 ( C) (4)当 2 1i z时,1
2、50100 zz的值等于( D ) (A)1 (B)-1 (C)i (D)-i (5)直线 bx+ay=ab(a0,首项 n i ii n aa Sa 1 1 1 , 1 ,0则 n n Slim_ 答: da1 1 三解答题:本大题共5 小题; 共 48 分. 解答应写出文字说明、演算 步骤。 (25) (本小题满分 8 分) 解不等式 .0 1 log)5(log2 2 2 1 x x 解:原不等式等价于 .41 ,0 ,5 .0)5( 4 1 log ,0 ,05 2 1 xx x x xx x x 或 解得 所以原不等式的解集为54| 10|xxxx (26) (本小题满分 8 分)
3、如图, A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点 A1、B、C1的平面和平面 ABC的交线记作 L。 ()判定直线 A1C1和 L 的位置关系,并加以证明 ; ()若 A1A=1 , AB=4, BC=3,ABC=90 0, 求顶点 A1到直线 5 L 的距离。 解: ()LA1C1证明如下: 根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面 ABC平行。 由题设知直线 A1C1=平面 A1B1C 1平面 A1BC1, 直线 L=平面 A1B1C1平面 A1BC1, 根据两平面平行的性质定 理 有 LA1C1 ()过点 A1作 A1EL 于 E,则 A1E的长为点 A1到 L 的距离。连接 AE , 由直棱
4、柱的定义知 A1A平面 ABC 直线 AE是直线 A1E在平面 ABC上的射影。 又 L 在平面 ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE L 由棱柱的定义知 A1C1AC ,又 LA1C1,LAC 作 BD AC于 D, 则 BD是 RtABC斜边 AC上的高,且 BD=AE , 从而 5 12 AC BCAB BDAE 在 RtA1AE中,A1A=1 ,A1AE=90 0, . 5 132 1 2 1 AAAEEA 故点 A1到直线 L 的距离为. 5 13 A1 C1 B1 A D E L C B 6 (27) (本小题满分 10 分) 在面积为 1 的PMN 中,2, 2 1 tgNtg
5、M. 建立适当的坐标系,求 出以 M , N 为焦点且过点 P的椭圆方程。 解:建立直角坐标系如图: 以 MN 所在直线为 x 轴,线段 MN 的 垂直平分线为 y 轴 设所求的椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x 分别记 M 、N、P点的坐标为 (-c,0),(c,0)和(x0,y0) tg =tg( -N)=2 由题设知 )(2 )( 2 1 00 00 cxy cxy 解得) 3 4 , 3 5 ( 3 4 3 5 0 0 ccP cy cx 即 在PMN 中, MN=2c MN 上的高为c 3 4 SPMN= ) 3 32 , 6 35 (, 2 3 1 3 4 2 2 1 P
6、ccc即 3 152 )(| 2 0 2 0 ycxPM 3 15 )(| 2 0 2 0 ycxPN 3 2 15 )|(| 2 1222 cabPNPMa从而 故所求椭圆方程为 1 315 4 22 yx Y P M O N X 7 (28) (本小题满分 12 分) 设复数 , 2 arg, 3 3 |, 1 )(1 ),0(sincos 4 4 已知 z z iz求。 解: 4sin4cos1 )4()4cos(1 sincos1 )sin()cos(1 4 4 i i i , 12 1 12 5 , 3 3 2)2( , 26 arg), 6 sin 6 (cos 3 3 , 12
7、7 12 , 3 3 2) 1( ,0 3 3 |2| )4cos4(sin2 2cos2sin22cos2 2cos2sin22sin2 2 2 或得时当 适合题意得这时都有 或得时当 故有 tg i tg tg itg i i 舍去不适合题意得这时都有, 26 11 arg), 6 11 sin 6 11 (cos 3 3 i . 12 7 12 )2(),1(或可知综合 (29) (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根、 . 证明: ()如果 | |0,bc0(B)ab0,bc0 (D)ab0 (ii) 对)2(, 1 1 1 00 1
8、1 log, 10 x x x x a a 等价于 而从()知 ,01x故(2)等价于 01x. 故对 )0, 1(,10xa当时有)(xf0. (25) (本小题满分 10 分) 已知数列, )12() 12( 8 , 53 28 , 31 18 222222 nn n Sn为其前 n 项和,计 算得. 81 80 , 49 48 , 25 24 , 9 8 4321 SSSS观察上述结果,推测出计算 Sn的 公式,并用数学归纳法加以证明。 22 解:)( ) 12( 1)12( 2 2 Nn n n Sn 证明如下: (1)当 n=1 时,, 9 8 3 13 2 2 1 S等式成立。 (
9、2)设 n=k 时等式成立,即 2 2 ) 12( 1) 12( k k Sk 22 1 )32() 12( )1(8 kk k SSkk 则 222 2 )32()12( )1(8 ) 12( 1) 12( kk k k k 22 22 )32()12( ) 1(8) 32(1) 12( kk kkk 22 222 ) 32()12( ) 1(8)32()32()12( kk kkkk 2 2 2 2 22 22 1)1(2 11)1(2 )32( 1)32( )32()12( ) 12()32)12( k k k k kk kkk 由此可知,当 n=k+1 时等式也成立 根据( 1) ,(
10、2)可知,等式对任何Nn都成立。 (26) (本小题满分 12 分) 已知: 平面,a直线平面同垂直于平面, 又同平行于直线b。 求证: ()a; 23 ()b. 证: () 设ACAB 作直线 PM 在 内任取一点 P并于内 AB , PNAC .,aPMaPM而 同理aPN 又aPNPM, ()于a上任取一点 Q ,过 b 与 Q作一平面交于直线 1 a,交于 直线 2 a. ./,/ 1 abab 同理./ 2 ab , 21 bQaa且平行于同过 ,., 2121 aaaa又重合 21,a a都是,的交线,即都重合于a baabab,./,/ 1 而 (27) (本小题满分 12 分)
11、 在面积为 1 的PMN 中,2, 2 1 tgNtgM. 建立适当的坐标系, 求出以 M , N 为焦点且过点 P的椭圆方程。 a 2 a 1 ab Q A M B N P C 24 解:建立直角坐标系如图: 以 MN 所在直线为 x 轴, 线段 MN 的垂直平分线为 y 轴 设所求的椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 分别记 M 、N、P点的坐标为 (-c,0),(c,0)和(x0,y0) tg =tg( -N)=2 由题设知 )(2 )( 2 1 00 00 cxy cxy 解得) 3 4 , 3 5 ( 3 4 3 5 0 0 ccP cy cx 即 在PMN 中, MN=
12、2c MN 上的高为c 3 4 SPMN=) 3 32 , 6 35 (, 2 3 1 3 4 2 2 1 Pccc即 3 152 )(| 2 0 2 0 ycxPM 3 15 )(| 2 0 2 0 ycxPN 3 2 15 )|(| 2 1 222 cab PNPMa 从而 故所求椭圆方程为1 315 4 22 yx (28) (本小题满分 12 分) 设复数 , 2 arg, 3 3 |, 1 )(1 ),0(sincos 4 4 已知 z z iz求。 Y P M O N X 25 解: 4sin4cos1 )4()4cos(1 sincos1 )sin()cos(1 4 4 i i
13、i )4cos4(sin2 2cos2sin22cos2 2cos2sin22sin2 2 2 itg i i , 12 1 12 5 , 3 3 2)2( , 26 arg), 6 sin 6 (cos 3 3 , 12 7 12 , 3 3 2) 1( ,0 3 3 |2| 或得时当 适合题意得这时都有 或得时当 故有 tg i tg tg . 12 7 12 )2(),1 ( , 26 11 arg), 6 11 sin 6 11 (cos 3 3 或可知综合 舍去不适合题意得这时都有i 新科目组“ 32” (文科) 第卷(选择题共68 分) 一选择题:本题共17 个小题 ; 每小题 4
14、 分,共 68 分。在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)函数 f(x)=sinx+cosx的最小正周期是( A ) (A)2(B) 22(C )(D) 4 (2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么双曲 线的离心率为( C ) (A) 2 3 (B) 2 3 (D) 2 6 (D)2 (3)和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为( B ) (A)3x+4y-5=0(B)3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 26 (4) 32121232nnnn iiii的值为( B ) (A)-2 (B)0 (C )
15、2 (D)4 (5) 5 3 xy在-1 , 1 上是( A ) (A)增函数且是奇函数(B)增函数且是偶函数 (C)减函数且是奇函数(D)减函数且是偶函数 (6) 52 15 lim 2 2 nn n n 的值为( D ) (A) 5 1 (B) 2 5 (C) 5 1 (D) 2 5 (7)集合, 22 |, 42 |Zk k xxNZk k xxM,则( C) (A)M=N (B)M N (C)M N (D)M N= (8)50sin10sin70cos20sin的值是( A ) (A) 4 1 (B) 2 3 (C) 2 1 (D) 4 3 (9)圆1 22 yx上的点到直线02543
16、yx的距离的最小值是 (A)6 (B)4 (C)5 (D)1 ( B ) (10)若ba,是任意实数,且ba,则( D) (A) 22 ba(B)1 a b (C)0)lg(ba(D) 22 ) 2 1 () 2 1 ( (11)一动圆与两圆 1 22 yx和0128 22 xyx都外切,则动圆 圆心轨迹为( C ) (A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线 (12)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是 (A) 3 ) 6 ( l (B) 3 ) 3 ( l (C) 3 ) 4 ( l (D) 3 ) 4 ( 4 1 l ( A ) (13) 54 )1()1(xx展开式中
17、 4 x的系数为( D ) 27 (A)-40 (B)10 (C)40 (D)45 (14)直角梯形一个内角为45 0, 下底长为上底长的 2 3 ,这个梯 形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为)25(,则 旋转体的体积为( D ) (A)2(B) 3 24 (C) 3 25 (D ) 3 7 (15)已知 821 ,aaa为各项都大于零的等比数列,公比1q,则 ( A ) (A) 5481 aaaa(B) 5481 aaaa (C) 5481 aaaa (D) 5481 aaaa和的大小关系不能由已知条件确定 (16)设有如下三个命题: 甲:相交两直线ml,都在平面内,并且都不在平
18、面内。 乙: ml,之中至少有一条与相交。 丙:与相交。 当甲成立时( C ) (A)乙是丙的充分不必要的条件 (B)乙是丙的必要而不充分的条件 (C)乙是丙充分且必要的条件 (D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 (17)将数字 1, 2 , 3 , 4 填入标号为 1, 2 , 3 , 4 的四 个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均 不相同的填法有 28 ( B ) (A)6 种(B)9 种(C)11 种(D)23 种 第卷(非选择题共82分) 二填空题:本大题共6 小题; 每小题 4 分,共 24 分。把答案填在 题中横线上。 (18)设1a,则 1 1 1 1
19、 lim n n n a a _. 答: 2 a (19)若双曲线11 49 22 2 2 2 2 yx k y k x 与圆没有公共点,则实数 k 的 取值范围为 _. 答: 3 1 |kk (20)从 1, 2 , 10 这十个数中取出四个数,使它们的和 为奇数,共有_ 种取法(用数字作答) . 答:100 (21)设 1 24)( xx xf,则)0( 1 f=_ 答:1 (22)建造一个容积为 8m 3, 深为 2m的长方体无盖水池。 如果池底和 池壁的造价每平方米分别为 120元和 80 元,那么水池的最低造价为 _ 元. 答:1760 (23)如图, ABCD是正方形, E 是 A
20、B的中点,如将 DAE和 29 CBE 分别沿虚线 DE和 CE折起,使 AE和 BE重合,记 A和 B重 合后的点为 P,则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为 _度。 答:30 三解答题:本大题共 5 小题; 共 58 分. 解答应写 出文字说明、演算步骤。 (24) (本小题满分 10 分) 求40sin420tg的值。 解:40sin420tg 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin)40sin20(sin .360sin2 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 20cos 40sin
21、)10cos30sin2 (25) (本小题满分 12 分) 已知).1, 0( 1 1 log)(aa x x xf a ()求 )(xf的定义域 ; ()判断)(xf的奇偶性并予以证明 ; ()求使)(xf0 的 x 取值范围 . D C D C P A B E E 30 解: ()由对数函数的定义域知0 1 1 x x 如果; 11 ,01 ,01 x x x 则 如果. ,01 ,01 则不等式组无解 x x 故)(xf的定义域为( -1, 1 ) ()),( 1 1 log 1 1 log)(xf x x x x xf aa )(xf为奇函数 () (i) 对) 1(, 1 1 1
22、0 1 1 log, 1 x x x x a a 等价于 而从()知,01x故(1)等价于xx11又等价于0x 故对)1 ,0(, 1xa当时有)(xf0 (ii) 对)2(, 1 1 1 00 1 1 log, 10 x x x x a a 等价于 而从()知 ,01x故(2)等价于01x. 故对)0, 1(,10xa当时有)(xf0. (26) (本小题满分 12 分) 已知数列 , )12() 12( 8 , 53 28 , 31 18 222222 nn n Sn为其前 n 项和,计 算得. 81 80 , 49 48 , 25 24 , 9 8 4321 SSSS观察上述结果,推测出
23、计算 Sn的 公式,并用数学归纳法加以证明。 解:)( ) 12( 1)12( 2 2 Nn n n Sn 证明如下: (1)当 n=1 时,, 9 8 3 13 2 2 1 S等式成立。 31 (2)设 n=k 时等式成立,即 2 2 ) 12( 1) 12( k k Sk 22 1 )32() 12( )1(8 kk k SS kk 则 222 2 )32()12( )1(8 ) 12( 1) 12( kk k k k 22 22 )32()12( ) 1(8) 32(1) 12( kk kkk 22 222 ) 32()12( ) 1(8)32()32()12( kk kkkk 2 2
24、2 2 22 22 1)1(2 11)1(2 )32( 1)32( )32()12( ) 12()32)12( k k k k kk kkk 由此可知,当 n=k+1 时等式也成立 根据( 1) ,(2)可知,等式对任何Nn都成立。 (28) (本小题满分 12 分) 在面积为 1 的PMN 中,2, 2 1 tgNtgM. 建立适当的坐标系, 求出以 M , N 为焦点且过点 P的椭圆方程。 解:建立直角坐标系如图: 以 MN 所在直线为 x 轴, 线段 MN 的垂直平分线为 y 轴 设所求的椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 分别记 M 、N、P点的坐标为 (-c,0),(c,
25、0)和(x 0,y0) Y P M O N X 32 tg =tg( -N)=2 由题设知 )(2 )( 2 1 00 00 cxy cxy 解得) 3 4 , 3 5 ( 3 4 3 5 0 0 ccP cy cx 即 在PMN 中, MN=2c MN 上的高为c 3 4 SPMN=) 3 32 , 6 35 (, 2 3 1 3 4 2 2 1 Pccc即 3 152 )(| 2 0 2 0 ycxPM 3 15 )(| 2 0 2 0 ycxPN 3 2 15 )|(| 2 1 222 cab PNPMa 从而 故所求椭圆方程为 1 315 4 22 yx (27) (本小题满分 12 分) 已知: 平面,a直线平面同垂直于平面, 又同平行于直线b。 求证: () a; ()b. 证: ()设ACAB 在 内任取一点 P并于内作直线 PM AB , PNAC .,aPMaPM而 33 同理aPN 又aPNPM, ()于a上任取一点 Q , 过b与 Q作一平面交于直线 1 a,交于直线 2 a. ./,/ 1 abab 同理 ./ 2 ab , 21 bQaa且平行于同过 ,., 2121 aaaa又重合 21,a a都是,的交线,即都重合于a baabab,./,/ 1 而 a 2a1a b Q A M B N P C
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