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1、第 1 页 共 9 页 全国高考新课标1 卷文科数学试题 第卷 一、选择题,本大题共 12小题,每小题 5 分,共 60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1设集合 A=1,3,5,7 ,B=x|2 x5 ,则 A B=( ) A1,3B3,5 C5,7 D1,7 2设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( ) A-3 B-2 C2 D 3 3为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 4
2、 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2 5,2,cos 3 acA, 则 b=( ) A2B3C2 D3 5直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 4 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6若将函数 y=2sin (2x+ 6 )的图像向右平移 1 4 个周期后,所得图像对应的函数为 ( ) Ay=2sin(2x+ 4 ) By=2sin(2x+ 3 ) Cy=2sin(2x 4 ) Dy=2sin(2x 3 ) 7如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径
3、.若该几何体的体积是 28 3 , 则它的表面积是 ( ) A17 B18 C20 D28 8若 ab0,0cb 9函数 y=2x 2 e|x|在 2,2的图像大致为 ( ) 10执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1, 则输出 x,y 的值满足 ( ) Ay=2xBy=3x Cy=4xDy=5x 11平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, /平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, y x y 2 O -2 1 C x 2 O -2 1 B y x 2 O -2 1 A x 2 O -2 1 D y 开始 x2+y2 36? 是 结束 输出x,y 否 n=n+
4、 1 输入x,y,n 1 , 2 n xxyny 第 2 页 共 9 页 B E G P D C A 平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为 ( ) A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 12若函数 1 ( )sin2sin 3 f xx-xax在(-,+ )单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) A-1,1 B-1, 1 3 C- 1 3 , 1 3 D-1,- 1 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22题第 24 题为选考题,考生根据要求作答 . 二、填空题:本大题共4小题,每小题 5 分,共 2
5、0分把答案填在横线上 13设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 ab,则 x= . 14已知 是第四象限角,且 sin( + 4 )= 3 5 ,则 tan( - 4 )= . 15设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3, 则圆 C 的面积为. 16某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 .生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的
6、利润为 900 元.该 企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .只做 6 题,共 70 分. 17.(本题满分 12 分) 已知 an是公差为 3 的等差数列,数列 bn满足 b1=1,b2= 3 1 ,anbn+1+bn+1=nbn. ()求 an的通项公式;()求 bn 的前 n 项和. 18.(本题满分 12 分) 如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的 正投影为点 D,D 在平面 PAB
7、 内的正投影为点 E, 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. ()证明 G 是 AB 的中点; ()在答题卡第( 18)题图中作出点E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由 ),并求四面体 PDEF 的体积 19.(本小题满分 12 分) 第 3 页 共 9 页 某公司计划购买1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件,在购 进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元. 在机器使用期间,如果备件 不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并 整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图
8、: 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位:元) ,n 表示购机的同时购买的易损零件数. ()若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; ()若要求 “ 需更换的易损零件数不大于n” 的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; ()假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件,或每台都购买 20 个易 损零件,分别计算这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件? 20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,
9、直线 l:y=t(t0) 交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. ()求 OH ON ; ()除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2. ()讨论 f(x)的单调性;()若有两个零点,求 a 的取值范围 . 第 4 页 共 9 页 请考生在22、23、24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清 题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如
10、图, OAB 是等腰三角形,AOB=120 . 以 O 为圆心, 1 2 OA 为半径作圆 . ()证明:直线 AB 与O 相切; ()点 C,D 在O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明: ABCD. 23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat (t 为参数,a0).在以坐 标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: =4cos . ()说明 C1是哪种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程; ()直线 C3的极坐标方程为=0,其中 0满足 tan0=2,若曲线 C1与 C2的
11、公共点都 在 C3上,求 a. 第 5 页 共 9 页 B E G P F D C A 24.(本小题满分 10 分) ,选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|. ()在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像; ()求不等式 | f(x)|1 的解集 . 2016年全国高考新课标1 卷文科数学试 题参考答案 一、选择题,本大题共 12小题,每小题 5 分,共 60分 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 二、填空题:本大题共4小题,每小题 5 分,共 20分 13 2 3 14 4 3 154 16216000
12、三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .只做 6 题,共 70 分. 17解: ()依题 a1b2+b2=b1,b1=1,b2= 3 1 ,解得 a1=2 2 分 通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1 6 分 ()由()知 3nbn+1=nbn,bn+1= 3 1 bn,所以bn是公比为 3 1 的等比数列 .9 分 所以 bn的前 n 项和 Sn= 1 1 1( ) 31 3 1 223 1 3 n n 12 分 18()证明: PD平面 ABC,PDAB 又 DE平面 PAB,DEABAB平面 PDE 3 分 又 PG 平面 PDE,ABPG依题 P A=PB,G 是
13、AB 的中点 6 分 ()解:在平面 PAB 内作 EFPA(或 EF/ PB)垂足为 F, 则 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 . 7 分 理由如下: PCPA,PCPB, PC平面 PAB EF PC 作 EFPA,EF平面 PAC即 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 .9 分 连接 CG,依题 D 是正 ABC 的重心,D 在中线 CG 上,且 CD=2DG 易知 DE/ PC,PC=PB=PA= 6,DE=2,PE= 22 3 22 2 33 PG 则在等腰直角 PEF 中,PF=EF= 2, PEF 的面积 S=2 所以四面体 PDEF 的体积 14 33 VSDE
14、. 12 分 19解: ()当 x 19 时,y=3800;当 x19 时,y=3800+500(x-19)=500x-5700. 所以 y 与 x 的函数解析式为 3800,19 (*) 5005700,19 x yxN xx 3 分 ()由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18 为 0.46,不大于 19 为 0.7,所以 n 的最小值为 19. 6 分 第 6 页 共 9 页 ()若每台机器都购买19 个易损零件,则有 70 台的费用为 3800, 20台的费用为 4300, 10 台的费用为 4800,所以 100台机器购买易损零件费用的 平均数为 1 100 (3800 70+430
15、0 20+4800 10)=4000. 9 分 若每台机器都购买 20个易损零件,则有 90台的费用为 4000, 10台的费用为 4500, 所 以 100台机器购买易损零件费用的 平均数为 1 100 (4000 90+4500 10)=4050. 11 分 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件 .12 分 20解: ()依题 M(0, t),P( 2 2 t p , t). 所以 N( 2 t p , t),ON 的方程为 p yx t . 联立 y 2=2px, 消去 x 整理得 y2=2ty. 解得 y1=0,y2=2t. 4 分 所以 H( 2 2t p
16、 ,2t). 所以 N 是 OH 的中点,所以 OH ON =2. 6 分 ()直线 MH 的方程为 2 p ytx t ,联立 y2=2px,消去 x 整理得 y2-4ty+4t2=0. 解得 y1=y2=2t. 即直线 MH 与 C 只有一个交点 H. 所以除 H 以外,直线 MH 与 C 没有其它公共点 . 12 分 21解: () f (x)=(x -1)e x+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). xR 2 分 (1)当 a 0 时,在(- ,1)上,f(x)0,f(x)单调递增 . 3 分 (2)当 a 2 e ,ln(-2a)0,f(x)单调递增 . 若 a1,在(1,
17、ln(-2a)上,f (x)0,f(x)单调递增 .7 分 () (1)当 a=0 时,f(x)=(x -2)ex只有一个零点,不合要求 . 8 分 (2)当 a0 时,由()知 f(x)在(- ,1)上单调递减;在 (1,+ )上单调递增 . 最小值 f(1)=-e0,若取 b 223 (2)(1)()0 22 a ba ba bb,所以 f(x)有两个零点 . 10分 (3)当 a1 的解集 . 解:() 4,1 3 ( )32,1 2 3 4, 2 xx f xxx xx y=f(x)的图像如图所示 . 5 分 ()由 f(x)的图像和表达式知,当 f(x)=1 时,解得 x=1 或 x
18、=3. 当 f(x)=-1 时,解得 x= 1 3 或 x=5. 8 分 结合 f(x)的图像可得 | f(x)|1 的解集为 x|x5. 10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat (t 为参数,a0).在以坐 标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: =4cos . ()说明 C1是哪种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程; ()直线 C3的极坐标方程为=0,其中 0满足 tan0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都 在 C3上,求 a. 解:()消去参数 t 得到
19、 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2. 所以 C1是以(0,1)为圆心 a 为半径的圆 . 3 分 将 x= cos ,y= sin 代入可得 C1的极坐标方程为 2-2 sin +1-a2=0. 5 分 ()联立 2-2 sin +1-a2=0 与 =4cos 消去 得 16cos2 -8sin cos +1-a2=0, 由 tan =2 可得 16cos 2 -8sin cos =0. 从而 1-a2=0,解得 a=1. 8 分 当 a=1 时,极点也是 C1与 C2的公共点,且在 C3上,综上 a=1. 10 分 第 8 页 共 9 页 小题详解 1解:取 A,B 中共有的元素是
20、3,5 ,故选 B 2解: (1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i,依题 a-2=1+2a,解得 a=-3,故选 A 3解:设红、黄、白、紫4 种颜色的花分别用1,2,3,4来表示,则所有基本事件有(12,34), (13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共 6 个,其中 1 和 4 不在同一花 坛的事件有 4 个,其概率为 P= 42 63, 故选 C 4解:由余弦定理得: 5=4+b2-4b 2 3 ,则 3b2-8b-3=0,解得 b=3,故选 D 5解:由直角三角形的面积关系得bc= 22 1 2 4 b bc ,解得 1 2 c e
21、a ,故选 B 6解:对应的函数为y=2sin 2(x- 1 4 )+ 6 ,即 y=2sin(2x3),故选 D 7解:依图可知该几何体是球构成截去了八分之一,其体积 34728 383 VR,解得 R=2,表面积 2273 42+217 84 S,故选 B 8解:取特值 a=1,b=0.5,c=0.5,可排除 A,C,D,故选 B 9解:当 0 x2 时,y=4x ex,函数先减后增,且 y|x=0.50,最小值在 (0,0.5)内。故选 D 10解:运行程序,循环节内的 n,x,y 依次为 (1,0,1),(2,0.5,2),(3,1.5,6),输 出 x=1.5,y= 6,故选 C 1
22、1解:平面 A1B1C1D1 平面 CB1D1= B1D1与 m 平行,平面 CDD1C1 平面 CB1D1= CD1与 n 平行, 所以 m, n 所成角就是 B1D1与 CD1所成角,而 CB1D1是等边三角形,则所成角是 60 , 故选 A 12解: 2 ( )sin cossin 3 f xx-xxaxQ, 22 2 ( )1(cossin)cos 3 fx-xxax,依题 f(x) 0 恒成 立,即acosx 2cos2 1 3 x恒成立,而(acosx)min=-| a|, 2111 1 cos21| | 3333 3 xaa,解得,故选 C 13解:依题 x+2(x+1)=0,解
23、得 x= 2 3 14解:依题 + 4 是第一象限角,cos( + 4 )= 4 5 ,tan( - 4 )=- tan( 4 - )=- tan 2 -( + 4 )=- sin 2 -( + 4 )/cos 2 -( + 4 )=- cos( + 4 )/ sin( + 4 )= 4 3 15解:圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2,圆心 C 到直线距离 d= | 2 a ,由 d2+3=a2+2,解 得 a2=2,所以圆半径为 2,则圆面积为 4 16解:设生产 A、B 两种产品各 x 件、y 件,利润之和是 z2100x+900y, 第 9 页 共 9 页 约束条件是 1.50.5150 0.390 53600 0,0 xy xy xy xy ,即 3300 103900 53600 0,0 xy xy xy xy 作出可行域四边形OABC,如图. 画出直线 l0:7x+3y =0,平移 l0到 l, 当 l 经过点 B 时 z最大,联立 10x+3y=900与 5x+3y=600 解得交点 B(60,100),所以 zmax=126000+90000=216000. B C A O x y 300 200 l0
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