十三校联考高考数学二模试卷(文科)(解析版).pdf
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1、第1页(共 22页) 湖南省十三校联考高考数学二模试卷(文科) 一、选择题 1i 是虚数单位,若=a+bi(a,b R) ,则 a+b 的值是() A2B 2C3D 3 2集合 A=y R|y=lgx ,x 1, B= 2,1, 2则下列结论正确的是() AA B= 2,1B (CUA)B=( ,0)CAB=(0,+)D (CUA) B= 2,1 3 已知命题p: ?x0,x+ 4: 命题 q: ?x0 R+, 2x0= ,则下列判断正确的是() Ap 是假命题Bq 是真命题 C p ( q)是真命题D ( p) q 是真命题 4已知函数f(x)=sin x(x R, 0)的最小正周期为 ,为
2、了得到函数g(x)=sin ( x+)和图象,只要将 y=f( x)的图象() A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 5下列函数既是奇函数,又在区间 1, 1上单调递减的是() Af(x)=sinxB f( x)=|x+1| Cf(x)=Df(x)=ln 6已知直线l平面 ,直线 m? 平面 ,有下面四个命题: (1) ? lm,(2) ? lm, (3)l m? ,(4)l m? , 其中正确命题是() A (1)与( 2)B (1)与( 3)C (2)与( 4)D (3)与( 4) 7执行如图的程序框图,若输出,则输入 p=() 第2页(共
3、 22页) A6B7C8D9 8如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2 的正三角形和正方形, 则其体积是() A B C D 9若实数 x,y 满足 |x 2| y a,(a (0,+) ) ,且 z=2x+y 的最大值为10,则 a 的值为() A1B2C3D4 10 ABC 内接于以O 为圆心,1 为半径的圆,且,则的 值为() A B C D 11已如点 M(1,0)及双曲线的右支上两动点 A, B, 当AMB 最大 时,它的余弦值为() AB CD 12已知函数f(x)=ex 1+x2( e为自然对数的底数) , g(x)=x 2 axa+3, 若存 在实数 x1,x
4、2, 使得 f (x1) =g ( x2) =0, 且|x 1 x 2| 1,则实数 a 的取值范围是 () A2,3B1,2C2,D,3 二、填空题 13某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x()之间的关系,随机统计了某4 天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 第3页(共 22页) 气温( )18 13 10 1 杯数14 24 28 54 由表中数据算得线性回归方程=bx+a 中的 b 2,预测当气温为5 时,热茶销售量 为杯 14设函数f(x)满足,则 f(2)= 15在 ABC 中,a、 b、c 分别为 A、 B、C 的对边,三边 a、b、c 成等差数列, 且 B=,则(
5、 cosA 一 cosC) 2 的值为 16在平面直角坐标系xOy 中,已知圆 C:x 2+(y4)2=4, 点 A 是 x 轴上的一个动 点,直线 AP, AQ 分别切圆 C于 P, Q两点,则线段 PQ长的取值范围为 三、解答题 17已知数列 an中,a1=1,前 n 项和 Sn=an(n 2, n N * ) (I)求 a2,a3及an的通项公式; ( )记 bn=an+ ,cn=,求数列 cn 的前 n 项和 Tn 18某单位开展岗前培训期间,甲、乙 2 人参加了 5 次考试,成绩统计如下: 第一次第二次第三次第四次第五次 甲的成绩82 82 79 95 87 乙的成绩95 75 80
6、 90 85 ( )根据有关统计知识,回答问题:若从甲、乙2 人中选出1 人上岗,你认为选谁合 适,请说明理由; ( )根据有关概率知识,解答以下问题: 从甲、乙 2 人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为 x, 抽到乙的成绩为y 用 A 表示满足条件|xy| 2 的事件,求事件 A 的概率; 若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3 分,则称该次考试两人 “ 水平相当 ” 由上 述 5 次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“ 水平相当 ” 的概率 19如图,在四棱锥OABCD 中,底面 ABCD 是边长为1 的菱形, ABC=, OA底面 ABCD ,OA=2 ,M 为 OA
7、 的中点 ( )求异面直线AB 与 MD 所成角的大小; ( )求点 B 到平面 OCD 的距离 第4页(共 22页) 20已知曲线C1: +=1(ab0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线 C1 的内切圆半径为,记 C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆 (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设 AB 是过椭圆C2中心 O 的任意弦,M 是椭圆上一点,且满足(+)?=0, 求 AMB 的面积的最小值 21已知函数f(x)=ax 2lnx (I)讨论函数f(x)单调性; ( )当时,证明:曲线y=f (x)与其在点P(t,f(t) )处的切线 至少有两个不同的公共点 选修 4-4:几何证明选讲
8、 22如图,O 是 ABC 的外接圆, D 是的中点, BD 交 AC 于点 E (1)求证: CD2DE2=AE ?EC; (2)若 CD 的长等于 O 的半径,求ACD 的大小 选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23选修 44:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴, 已知曲线 C1的极坐标方程为 =4cos ,曲线 C2的参数方程为(t 为参数, 0 ) ,射线 = , = +, = 与曲线 C1交于(不包括极点 O)三点 A、 B、C (I)求证: |OB|+|OC|=|OA|; ( )当 =时,B,C 两点在曲线C2上,
9、求 m 与 的值 选修 4-5:不等式选讲 24设函数f (x)=|xa|+3x,其中 a 0 (1)当 a=2 时,求不等式f(x) 3x+2 的解集; (2)若不等式f (x) 0 的解集包含 x|x 1,求 a的取值范围 第5页(共 22页) 湖南省十三校联考高考数学二模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1i 是虚数单位,若=a+bi(a,b R) ,则 a+b 的值是() A2B 2C3D 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解: a+bi=1+3i, a=1,b=3, a+b=2 故选: A 2集合 A=y R|
10、y=lgx ,x 1,B= 2,1,2则下列结论正确的是() AA B= 2,1B (CUA)B=( , 0)CAB=(0,+)D (CUA) B= 2,1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 集合 A 为对数函数的值域,解出后对照选项逐一验证 【解答】 解:依题意,A=y|y 0 ,B= 2,1,2 , 所以 A B= 2, 1=2 ,A 错,AB=(0,+)= 2,1 ,B 错, (CUA)B 2, 1 ,C 错, 故选 D 3 已知命题p: ?x0, x+ 4: 命题 q: ?x0 R +, 2x0= ,则下列判断正确的是() Ap 是假命题Bq 是真命题C p ( q)是真命题
11、D ( p) q 是真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】利用基本不等式求最值判断命题p 的真假,由指数函数的值域判断命题q 的真假, 然后结合复合命题的真值表加以判断 【解答】 解:当 x0,x+,当且仅当x=2 时等号成立, 命题 p 为真命题,P 为假命题; 当 x0 时,2x1, 命题 q:?x0 R +, 2x0= 为假命题,则 q 为真命题 p ( q)是真命题,( p) q 是假命题 故选: C 第6页(共 22页) 4已知函数f(x)=sin x(x R, 0)的最小正周期为 ,为了得到函数g(x)=sin ( x+)和图象,只要将 y=f( x)的图象() A向左平
12、移个单位长度B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度 【考点】 函数 y=Asin ( x+ )的图象变换 【分析】 由函数的周期性求得 =2,可得 f (x)=sin2x,再根据根据函数y=Asin( x+ ) 的图象变换规律,得出结论 【解答】 解:由于函数f( x)=sin x(x R, 0)的最小正周期为 , 故有= , =2, f(x)=sin2x, 根据函数y=Asin ( x+ )的图象变换规律,为了得到函数g(x) =sin(2x+)=sin2 (x+ )的图象, 只要将 y=f (x)的图象向左平移个单位长度即可, 故选: A 5下列函数既是奇函数,又在
13、区间 1,1上单调递减的是() Af(x)=sinxB f( x)=|x+1| Cf(x)=Df(x)=ln 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论 【解答】 解:函数f(x)=sinx,是奇函数,在1,1上单调递增,不满足条件 函数 f(x)=|x+1|不是奇函数,不满足条件, 函数 f(x)=是偶函数,不满足条件, 故选: D 6已知直线l平面 ,直线 m? 平面 ,有下面四个命题: (1) ? lm,(2) ? lm, (3)l m? ,(4)l m? , 其中正确命题是() A (1)与( 2)B (1)与( 3)C (2)
14、与( 4)D (3)与( 4) 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据已知直线l平面 ,直线 m? 平面 ,结合 结合线面垂直的定义及 判定,易判断( 1)的真假;结合 ,结合空间直线与直线关系的定义,我们易判 断( 2)的对错;结合lm,根据线面垂直的判定方法及面面平行的判定定理,易判断 第7页(共 22页) (3)的正误; 再根据 l m 结合空间两个平面之间的位置关系,易得到 (4)的真假,进 而得到答案 【解答】 解:直线 l平面 , ,l平面 ,又直线 m? 平面 ,lm, 故( 1)正确; 直线 l平面 , , l平面 ,或 l?平面 ,又直线 m? 平面 , l
15、 与 m 可能平行也可能相交,还可以异面,故( 2)错误; 直线 l平面 ,lm, m ,直线 m? 平面 , ,故( 3)正确; 直线 l平面 ,lm, m 或 m? ,又直线 m? 平面 ,则 与 可能平 行也可能相交,故( 4)错误; 故选 B 7执行如图的程序框图,若输出,则输入 p=() A6B7C8D9 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图,可得解得 n 的值为 7, 退出循环的条件为7p 不成立,从而可得p 的值 【解答】 解:模拟执行程序框图,可得 解得: n=7 故当 p=7 时,n=7p,不成立,退出循环,输出 S 的值为 故选: B 8如图,一个简单几何体的三视
16、图其主视图与俯视图分别是边长2 的正三角形和正方形, 则其体积是() 第8页(共 22页) ABCD 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据主视图、俯视图,可得简单几何体的直观图是底面边长为 2, 高为的 正四棱锥,利用体积公式可得结论 【解答】 解:由主视图可知,三棱锥的高为,结合俯视图可得简单几何体的直观图 是底面边长为 2, 高为的正四棱锥 体积为 = 故选 C 9若实数 x,y 满足 |x 2| y a, (a (0,+) ) ,且 z=2x+y 的最大值为10,则 a 的值为() A1B2C3D4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件 |x2| y a 作出可行域,数
17、形结合得到最优解,求出最优解的坐标, 代入目标函数后求得a 的值 【解答】 解:由 |x2| y a,作出可行域如图, 联立,解得 A(a+2,a) , 化 z=2x+y 为 y=2x+z 由图可知,当直线 y=2x+z 过 A 时,z 有最大值, 此时 2( a+2)+a=10,解得: a=2 故选: B 第9页(共 22页) 10 ABC 内接于以O 为圆心,1 为半径的圆,且,则的 值为() A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 将已知等式中的移到等式的一边,将等式平方求出;将利 用向量的运算法则用,利用运算法则展开,求出值 【解答】 解: = A,B,C 在圆上 O
18、A=OB=OC=1 = = 故选 A 11已如点 M(1,0)及双曲线的右支上两动点A,B,当AMB 最大 时,它的余弦值为() AB CD 【考点】 双曲线的简单性质;余弦定理 【分析】 根据题意,当直线 MA 、 MB 分别与双曲线相切于点A、B 时,可得 AMB 取得最大值 因此设直线AM 方程为 y=k( x1) ,与双曲线联解并利用根的判别式,解 出 k= 设直线AM 倾斜角为 , 得AMB=2 且 tan =,最后利用二倍角的三 角函数公式,即可算出 AMB 达到最大值时 AMB 的余弦值 【解答】 解:根据题意,当直线 MA 与双曲线相切于点A,直线 MB 与双曲线相切于 点 B
19、 时, AMB 取得最大值 设直线 AM 方程为 y=k (x1) ,与双曲线消去y,得 (k2)x2+2k 2xk21=0 直线 MA 与双曲线相切于点A, ( 2k2) 24 ( k 2) ( k2 1)=0, 解之得 k=(舍负) 第10页(共 22页) 因此,直线 AM 方程为 y=( x1) , 同理直线 BM 方程为 y=(x1) , 设直线 AM 倾斜角为 , 得 tan =, 且AMB=2 cos2 =,即为 AMB 最大时的余弦值 故选: D 12已知函数f(x)=ex 1+x2( e为自然对数的底数) , g(x)=x 2 axa+3, 若存 在实数 x1,x2,使得 f
20、(x1) =g ( x2) =0,且|x1x2| 1, 则实数 a 的取值范围是 () A2,3B1, 2C2, D, 3 【考点】 函数的值 【分析】 求出函数f(x)的导数,可得 f(x)递增,解得 f(x)=0 的解为 1,由题 意可得 x2axa+3=0 在 0 x 2 有解, 即有 a=(x+1)+ 2 在 0 x 2 有解,求得( x+1) +2 的范围,即可 得到 a 的范围 【解答】 解:函数f(x)=ex1+x2 的导数为 f( x)=ex 1+10, f(x)在 R 上递增,由 f(1)=0,可得 f(x1)=0, 解得 x1=1, 存在实数x1,x2,使得 f(x1)=g
21、(x2) =0且 |x1 x 2| 1, 即为 g( x2)=0 且|1x2 | 1, 即 x2axa+3=0 在 0 x 2 有解, 即有 a=(x+1)+2 在 0 x 2 有解, 令 t=x+1( 1 t 3) ,则 t+2 在1,2递减, 2, 3递增, 可得最小值为2,最大值为3, 则 a 的取值范围是 2, 3 故答案为: 2, 3 二、填空题 第11页(共 22页) 13某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x()之间的关系,随机统计了某4 天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温( )18 13 10 1 杯数14 24 28 54 由表中数据算得线性回归方程=b
22、x+a 中的 b 2,预测当气温为5 时,热茶销售量 为60杯 【考点】 线性回归方程 【分析】 先计算样本中心点,再求出线性回归方程,进而利用方程进行预测 【解答】 解:由题意,=10,=30, 将 b 2 及( 10,30)代入线性回归方程=bx+a,可得 a=50, x=5 时,y=2 ( 5)+50=60 故答案为: 60 14设函数f(x)满足 ,则 f(2)= 【考点】 函数的值 【分析】 通过表达式求出 f( ) ,然后求出函数的解析式,即可求解f(2)的值 【解答】 解:因为, 所以 , = 故答案为: 15在 ABC 中,a、 b、c 分别为 A、 B、C 的对边,三边 a、
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