数学高考题分类选编解三角形.pdf
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1、高考数学试题分类汇编及答案解析 (解 三角形) 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019北京高考文科5)在ABC 中,a=3,b=5,sinA= 1 3 ,则 sinB=( ) A. 1 5 B. 5 9 C. 5 3 D.1 【解题指南】 已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。 【解析】 选 B。由正弦定理得 355 ,sin 1 sinsinsin9 3 所以所以 ab B ABB 。 2.(2019新课标全国高考文科4)ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, 已知2b, 6 B, 4 C,则ABC的面积为() A.2 32B.31C.2 32D.31 【解题指南
2、】 利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】 选 B.因为, 64 BC,所以 7 12 A.由正弦定理得 sinsin 64 bc ,解得 2 2c 。所以三角形的面积为 117 sin2 2 2sin 2212 bcA. 因为 73221231 sinsin()() 12342222222 , 所以 1231 sin2 2()31 2222 bcA,选 B. 3.(2019新课标高考文科10)已知锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,02coscos23 2 AA,7a,c=6,则b() A.10 B.9 C.8 D.5 【解题指南】 由02coscos23 2
3、AA,利用倍角公式求出Acos的值,然后利用正 弦定理或余弦定理求得b的值 . 【解析】 选 D.因为02coscos23 2 AA,所以01cos2cos23 22 AA,解得 25 1 cos 2 A, 方法一 :因为 ABC 为锐角三角形,所以 5 1 cos A, 5 62 sin A. 由正弦定理 C c A a sinsin 得, Csin 6 5 62 7 . 35 612 sinC, 35 19 cosC.又)(CAB, 所以CACACABsincoscossin)sin(sin, 175 650 35 612 5 1 35 19 5 62 sin B.由正弦定理 B b A
4、a sinsin 得, 175 650 5 62 7b , 解得5b. 方法二 :由余弦定理Abccbacos2 222 , 5 1 cosA,则49 5 1 1236 2 bb, 解得5b 4.(2019陕西高考文科9) 【备注:(2019陕西高考理科7)与之题干相同】 设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若 coscossinbCcBaA, 则 ABC 的形 状为( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 【解题指南】 在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角 的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式
5、,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】 选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin 2A, sinA=1, 所以三角形 ABC 是直角三角形 . 5.(2019安徽高考文科9) 【备注:(2019安徽高考理科12)与之题干相同】 设 ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若 b+c=2a,则 3sinA=5sinB,则角 C=() A. 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 6 【解题指南】根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。 【
6、解析】 选 B.由题设条件可得 5 2 3 357 3 ab bca ab cb ,由余弦定理得 222 222 2 57 ()() 1 33 cos 5 22 2 3 bbb abc C ab b ,所以 2 C = 3 。 6. (2019山东高考文科7)ABC的内角ABC、 、的对边分别是abc、 、,若 2BA,1a, 3b,则c() A. 2 3B. 2 C.2D.1 【解析】 选 B.由 AB2 ,则 AB2sinsin ,由正弦定理知 B b A a sinsin ,即 AAABAcossin2 3 2sin 3 sin 3 sin 1 ,所以 cosA= 2 3 ,所以 A=
7、6 , 3 2AB, 所以 2 ABC,所以431 222 bac,c=2. 7.(2019湖南高考理科3)在锐角ABC中,角,A B所对的边长分别为,a b.若 2 sin3 ,aBbA则角等于() A 12 B 6 C 4 D 3 【解题指南】 本题先利用正弦定理 B b A a sinsin 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . 【解析】 选 D.由 2asinB=3b 得 2sinAsinB=3sinB,得 sinA= 2 3 ,所以锐角 A= 3 . 8. (2019天津高考理科6)在 ABC 中, ,2,3, 4 ABBCABC则 sinBAC= () A. 10 10 B.
8、10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 【解题指南】 先由余弦定理求AC 边长,然后根据正弦定理求值. 【解析】 选 C. 在ABC 中,由余弦定理得, 222 2 2cos29223 42 ABBACCAB BC 5,所以 5,AC由正弦定理得, ssinin BCA BA C 即 5 sin 4 3 , sin A 所以 3 10 sin 10 BAC. 9. (2019湖南高考文科5)在锐角ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为a, b. 若 2asinB=3b,则角 A 等于() A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【解题指南】 本题先利用正弦定理 B b A a sin
9、sin 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . 【解析】 选 A.由 2asinB=3b 得 2sinAsinB=3sinB,得 sinA= 2 3 ,所以锐角 A= 3 . 二、填空题 10.(2019浙江高考理科T16) 在 ABC 中,C=90,M 是 BC 的中点 .若 1 sin 3 BAM, 则 sinBAC=. 【解题指南】 分别在 RtABC 和 ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】 设 AC=b,AB=c,BC=a, 在 ABM 中由正弦定理得 1 2 sinsin a c BAMBMA , 因为sinsin AC BMACMA AM , 又 22 ACbca, 2
10、222 13 44 AMbaca,所以 22 22 sin 3 4 ca BMA ca . 又由得 22 22 1 2 1 3 3 4 a c ca ca ,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以 2c2-3a2=0, 所以 6 sin 3 a BAC c . 【答案】 6 3 11.( 2019上海高考理科T4 ) 已知 ABC的内角A,B,C所对应边分别为a,b,c,若 3a2+2ab+3b 2-3c2=0,则角 C 的大小是 (结果用反三角函数值表示). 【解析】 3a2+2ab+3b 2-3c2=0 ?c2=a 2+b2+ ab,故 11 cos,arccos 33 CC
11、 【答案】 1 arccos 3 12.(2019上海高考文科T5)已知ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别是a、b、c.若 a2+ab+b 2-c2=0, 则角 C 的大小是. 【解析】 3 2 2 1 2 - cos0- 222 222 C ab cba Ccbaba 【答案】 3 2 三、解答题 13. (2019大纲版全国卷高考文科18)与( 2019大纲版全国卷高考理科18)相 同 设ABC的内角A,B,C的对边分别为cba,,accbacba)( (I)求B; (II )若 4 13 sinsinCA,求C. 【解题指南】 (I)由条件accbacba)(确定求B应采用余弦定
12、理. (II )应用三角恒等变换求出CA及CA的值,列出方程组确定C的值 . 【解析】(I)因为accbacba)(.所以acbca 222 . 由余弦定理得 2 1 2 cos 222 ac bca B,因此120B. (II )由( I)知 60CA,所以CACACAsinsincoscos)cos( CACAsinsincoscos2sinsin+AC CACAsinsin2)cos( 4 13 2 2 1 2 3 . 故 30CA或30CA,因此15C或45C 14.(2019 新课标高考理科 17) 如图,在ABC中,90ABC,3AB, 1BC,P为ABC内一点,90BPC. ()
13、若 2 1 PB,求PA; ()若 150APB,求PBAtan. 【解析】 由已知得, 60PBC, 所以30PBA . 在PBA,由余弦定理得 4 7 30cos 2 1 32 4 1 3 2 PA,故 2 7 PA. ()设 PBA ,由已知得 sinPB , 在PBA中,由正弦定理得 )30sin( sin 150sin 3 ,化简得sin4cos3, 所以 4 3 tan,即 4 3 tanPBA. 15. (2019天津高考文科16)在 ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知 sin3 sinbAcB, a = 3, 2 cos 3 B. () 求
14、 b 的值 ; () 求 sin 2 3 B的值 . 【解题指南】 ( )根据正弦定理及sin3 sinbAcB, a = 3 求出 a,c的值,再由余弦定理求b 的值; ()根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos2B,sin2B,再由两角差的 正弦公式求值 . 【解析】 () 在 ABC 中,由正弦定理得 sinsin ab AB ,即sinsinbAaB,又由 sin3 sinbAcB,可得,3ac,又 a = 3,故 c=1,由 222 2cos,bacacB 且 2 cos, 3 B可得6.b ()由 2 cos 3 B,得 5 sin 3 B,进而得到 21 cos22c
15、os1, 9 BB 4 5 sin 22sincos. 9 BBB 所以 4 53 sin 2sin2coscos2sin. 33318 BBB 16.(2019浙江高考文科T18) 与(2019浙江高考理科T18) 相同 在锐角 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 2asinB=3b. (1)求角 A 的大小 . (2)若 a=6,b+c=8,求 ABC 的面积 . 【解题指南】 (1)由正弦定理易求角A 的大小 ;(2)根据余弦定理 ,借助三角形的面积公式求解. 【解析】 (1)由 2asinB=3b 及正弦定理 sinsin ab AB ,得 sinA= 3 2 ,
16、 因为 A 是锐角 ,所以 3 A. (2)由余弦定理a 2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c 2-bc=36,又 b+c=8,所以 28 3 bc, 由三角形面积公式S= 1 2 bcsinA, 得 ABC 的面积为 7 3 3 . 17.(2019江西高考理科16)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a, b,c,已知 错误 !未找到引用源。. (1)求角 B 的大小; (2)若ac1,求 b 的取值范围 . 【解题指南】 (1)借助三角形内角和为,结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程,求出 B 的三角函数值,进而可求出角B.(2)根据( 1)求出的 B 与
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