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1、上海市青浦区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题满分54 分)本大题共有12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则 一律得零分 . 1(4 分) 设全集 U=Z, 集合 M= 1, 2 , P= 2, 1, 0, 1, 2 , 则 PCUM 2 (4 分)已知复数(i 为虚数单位),则= 3 (4 分)不等式 2() 3(x1)的解集为 4 (4 分)函数 f(x)=sinxcosx +cos 2x的最大值为 5(4分) 在平面直角坐标系 xOy中, 以直线 y=2x为渐近线,且经过椭圆 x 2+ =1 右顶点的双曲
2、线的方程是 6 (4 分)将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2 的半圆,则此圆锥的体积 为 7 (5 分)设等差数列 an 的公差 d 不为 0,a1=9d若 ak是 a1与 a2k的等比中项, 则 k= 8 (5 分)已知(1+2x)6展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为 b, 则= 9 (5 分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数之积不小于4 的概率 为 10 (5 分)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 11(5 分) 已知 Sn为数列 an 的前 n 项和, a1=a2=1, 平面内三个不共线的向量, ,满足=(an1+an+1)+(1an),n2,n
3、N * ,若 A,B,C 在 同一直线上,则 S2018= 12 (5 分)已知函数 f(x)=m(xm) (x+m+2)和 g(x)=3 x3 同时满足以 下两个条件: 对任意实数 x 都有 f(x)0 或 g(x)0; 总存在 x0(, 2) ,使 f(x0)g(x0)0 成立 则 m 的取值范围是 二.选择题(本大题满分20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否则 一律得零分 . 13 (5 分)“ab” 是“ () 2ab” 成立的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分又不必
4、要条件 14 (5 分)已知函数 f(x)=2sin(x+) ,若对任意实数 x,都有 f(x1)f (x)f(x2) ,则| x2x1| 的最小值是() AB2 C 2 D4 15(5 分) 已知和 是互相垂直的单位向量, 向量满足:, nN*,设 n为 和的夹角,则() A n随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大, n先增大后减小 D随着 n 的增大, n先减小后增大 16 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,已知两圆 C1:x2+y2=12和 C2:x2+y2=14, 又点 A 坐标为( 3,1) ,M、N 是 C1上的动点, Q 为 C2上的动点,则四
5、边形 AMQN 能构成矩形的个数为() A0 个 B 2 个 C 4 个 D无数个 三解答题(本大题满分76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是矩形, PA 平面 ABCD , PA=AD=2AB=2 ,E是 PB的中点 (1)求三棱锥 PABC的体积; (2)求异面直线 EC和 AD 所成的角(结果用反三角函数值表示) 18 (14 分)已知抛物线 C:y 2=2px过点 P(1,1) 过点( 0, )作直线 l 与抛 物线 C交于不同的两点M,N,过点 M 作 x 轴的垂线
6、分别与直线OP、ON交于点 A,B,其中 O 为原点 (1)求抛物线 C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证: A 为线段 BM 的中点 19 (14 分)如图,某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室 A 在值班室 B 的 正北方向 2 千米处,值班室 C在值班室 B的正东方向 2千米处 (1)保安甲沿 CA从值班室出发行至点P处,此时 PC=1 ,求 PB的距离; (2)保安甲沿 CA从值班室 C出发前往值班室 A,保安乙沿 AB从值班室 A 出发 前往值班室 B,甲乙同时出发,甲的速度为1 千米/小时,乙的速度为2 千米/小 时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话
7、距离为3 千米(含 3 千米) ,试问有多长时间两人不能通话? 20 (16 分)设集合 A,B 均为实数集 R的子集,记 A+B=a+b| aA,bB (1)已知 A= 0,1,2 ,B=1,3 ,试用列举法表示A+B; (2) 设 a1=, 当 nN*且 n2 时, 曲线+=的焦距为 an, 如果 A= a1, a2, ,an,B= , ,设 A+B中的所有元素之和为Sn,求 Sn的值; (3)在( 2)的条件下,对于满足m+n=3k,且 mn 的任意正整数 m,n,k, 不等式 Sm+SnSk0 恒成立,求实数 的最大值 21 (18 分)对于定义在 0,+)上的函数 f(x) ,若函数
8、 y=f(x)( ax+b) 满足: 在区间 0,+)上单调递减,存在常数p,使其值域为( 0,p ,则称函数 g(x)=ax+b 是函数 f(x)的“ 逼进函数 ” (1)判断函数 g(x)=2x+5 是不是函数 f(x)=,x 0,+)的“ 逼 进函数 ” ; (2)求证:函数 g(x)=x 不是函数 f(x)=()x,x 0,+)的 “ 逼进函 数” (3)若 g(x)=ax 是函数 f(x)=x+,x 0,+)的 “ 逼进函数 ” ,求 a 的值 2018 年上海市青浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.填空题(本大题满分54 分)本大题共有12 题,1-6 每题 4 分,7-
9、12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则 一律得零分 . 1 (4 分)设全集 U=Z,集合 M= 1,2 ,P=2,1,0,1,2,则 PCUM 2,1,0 【解答】 解:CUM= 2,1,0 ,故 PCUM=2,1,0 故答案为: 2,1,0 2 (4 分)已知复数(i 为虚数单位),则= 【解答】 解:复数=, =, =?= =, 故答案为 3 (4 分)不等式2() 3(x1)的解集为 (, 2)( 3,+ ) 【解答】 解:不等式 2()3 (x1)化为 223 3x, 即 x24x333x, x 2x60, 解得 x2 或 x3, 原不等
10、式的解集为(,2)( 3,+) 故答案为:(, 2)( 3,+) 4 (4 分)函数 f(x)=sinxcosx +cos 2x的最大值为 【解答】 解:函数 f(x)=sinxcosx +cos 2x =sin2x+ cos2x+ =sin(2x+)+ , 当 2x+=2k +,kZ, 即 x=k +,kZ,函数取得最大值1+=, 故答案为: 5(4分) 在平面直角坐标系 xOy中, 以直线 y=2x为渐近线,且经过椭圆 x2+=1 右顶点的双曲线的方程是x2=1 【解答】 解:设以直线 y=2x 为渐近线的双曲线的方程为x2= ( 0) , 双曲线椭圆 x2+=1右顶点( 1,0) , 1
11、= , 双曲线方程为: x 2 =1 故答案为: x 2 =1 6 (4 分)将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2 的半圆,则此圆锥的体积为 【解答】 解:设圆锥的底面半径为r,则 2r=2,r=1 圆锥的高 h= 圆锥的体积 V= 故答案为: 7 (5 分)设等差数列 an 的公差 d 不为 0,a1=9d若 ak是 a1与 a2k的等比中项, 则 k=4 【解答】 解:因为 ak是 a1与 a2k的等比中项, 则 ak2=a1a2k, 9d+(k1)d 2=9d? 9d+(2k1)d , 又 d0,则 k22k8=0,k=4或 k=2(舍去) 故答案为: 4 8 (5 分)已知(1+2x)
12、6 展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为 b, 则=12 【解答】 解:由题意可得 a=20, 再根据, 解得, 即r, r=4,此时 b=24=240; =12 故答案为: 12 9 (5 分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数之积不小于4 的概率为 【解答】 解:同时掷两枚质地均匀的骰子, 基本事件总数 n=66=36, 两个点数之积小于4 包含的基本事件( a,b)有: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) ,共 5 个, 两个点数之积不小于4 的概率为 p=1= 故答案为: 10 (5 分)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a
13、的取值范围是 1,+) 【解答】 解:由题意可知:函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分, 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线,对称轴为x=,最多两个零点, 如上图,要满足题意,必须指数函数的部分向下平移到与x 轴相交, 由对数函数过点( 1,0) ,故需左移至少 1 个单位,故 a1, 还需保证抛物线与x 轴由两个交点,故最低点0, 解得 a0 或 a,综合可得: a1, 故答案为: 1,+) 11(5 分) 已知 Sn为数列 an 的前 n 项和, a1=a2=1, 平面内三个不共线的向量, ,满足=(an1+an+1)+(1an),n2,nN * ,若 A,B,C 在 同一直线上,
14、则 S2018=2 【解答】 解:若 A,B,C 三点共线,则=x+(1x),根据条件 “ 平面 内三个不共线的向量,满足=(an1+an+1)+(1an),n2, nN * ,A,B,C在同一直线上, ” 得出 an1+an+1+1an=1,an1+an+1=an, Sn为数列 an的前 n 项和, a1=a2=1, 数列 an 为:1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0, 即数列 an 是以 6 为周期的周期数列,前6 项为 1,1,0,1,1,0, 2018=6336+2, S2018=336(1+1+011+0)+1+1=2 故答案为: 2 12 (5 分)已知函数 f(x)=
15、m(xm) (x+m+2)和 g(x)=3 x3 同时满足以 下两个条件: 对任意实数 x 都有 f(x)0 或 g(x)0; 总存在 x0(, 2) ,使 f(x0)g(x0)0 成立 则 m 的取值范围是(3,2) 【解答】 解:对于 g(x)=3x3,当 x1 时,g(x)0, 又 ? xR,f(x)0 或 g(x)0 f(x)=m(xm) (x+m+2)0 在 x1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x 轴交点都在( 1,0)的 左面, 即,可得 3m0 又 x(, 2) ,f(x)g(x)0 此时 g(x)=3x30 恒成立 f(x)=m(xm) (x+m+2
16、)0 在 x(, 2)有成立的可能, 则只要 2 比 x1,x2中的较小的根大即可, (i)当 1m0 时,较小的根为 m2,m22 不成立, (ii)当 m=1 时,两个根同为 13,不成立, (iii)当3m1 时,较小的根为m,即 m2 成立 综上可得成立时 3m2 故答案为:(3,2) 二.选择题(本大题满分20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否则 一律得零分 . 13 (5 分)“ab” 是“ () 2ab” 成立的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 【
17、解答】 解:由()2ab 得ab, 即 a2+2ab+b24ab, 则 a22ab+b20, 即(ab)20,则 ab, 则“ab” 是“ ()2ab” 成立的充分不必要条件, 故选: A 14 (5 分)已知函数 f(x)=2sin(x+) ,若对任意实数 x,都有 f(x1)f (x)f(x2) ,则| x2x1| 的最小值是() AB2 C 2 D4 【解答】 解:对于函数 f(x)=2sin(x+) ,若对任意实数x,都有 f(x1) f(x)f(x2) , 则| x2x1| 的最小值为函数f(x)的半个周期, 即=2, 故选: C 15(5 分) 已知和 是互相垂直的单位向量, 向量
18、满足:, nN*,设 n为 和的夹角,则() A n随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大, n先增大后减小 D随着 n 的增大, n先减小后增大 【解答】 解:分别以和 所在的直线为 x 轴,y 轴建立坐标系,则=(1,0) , =(0,1) , 设=(xn,yn) , ,nN*, xn=n,yn=2n+1,nN*, =(n,2n+1) ,nN*, n为 和 的夹角, tan n= =2+ y=tan n为减函数, n随着 n 的增大而减小 故选: B 16 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,已知两圆 C1:x 2+y2=12和 C 2:x 2+y2=14,
19、 又点 A 坐标为( 3,1) ,M、N 是 C1上的动点, Q 为 C2上的动点,则四边形 AMQN 能构成矩形的个数为() A0 个 B 2 个 C 4 个 D无数个 【解答】 解:如图所示,任取圆C2上一点 Q, 以 AQ为直径画圆, 交圆 C1与 M、N 两点, 则四边形 AMQN 能构成矩形, 由作图知,四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个 故选: D 三解答题(本大题满分76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是矩形, PA 平面 ABCD , PA=AD=2AB
20、=2 ,E是 PB的中点 (1)求三棱锥 PABC的体积; (2)求异面直线 EC和 AD 所成的角(结果用反三角函数值表示) 【解答】 解: (1)PA 平面 ABCD ,底面 ABCD是矩形, 高 PA=2 ,BC=AD=2 ,AB=1, SABC=1 故 VPABC= (2)BC AD, ECB或其补角为异面直线EC和 AD所成的角 , 又PA 平面 ABCD , PA BC ,又 BC AB, BC 平面 PAB ,BC PB , 于是在 RtCEB中,BC=2 ,BE= PB=, tan =, 异面直线 EC和 AD所成的角是 arctan 18 (14 分)已知抛物线 C:y2=2
21、px过点 P(1,1) 过点( 0,)作直线 l 与抛 物线 C交于不同的两点M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP、ON交于点 A,B,其中 O 为原点 (1)求抛物线 C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证: A 为线段 BM 的中点 【解答】 解: (1)y2=2px过点 P(1,1) , 1=2p, 解得 p=, y2=x, 焦点坐标为(,0) ,准线为 x=, (2)证明:设过点( 0,)的直线方程为 y=kx+,M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 直线 OP为 y=x,直线 ON为:y=x, 由题意知 A(x1,x1) ,B(x1,) , 由,可得 k2x
22、2+(k1)x+=0, x1+x2=,x1x2= y1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+(1k) ?2x1=2x1, A为线段 BM 的中点 19 (14 分)如图,某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室 A 在值班室 B 的 正北方向 2 千米处,值班室 C在值班室 B的正东方向 2千米处 (1)保安甲沿 CA从值班室出发行至点P处,此时 PC=1 ,求 PB的距离; (2)保安甲沿 CA从值班室 C出发前往值班室 A,保安乙沿 AB从值班室 A 出发 前往值班室 B,甲乙同时出发,甲的速度为1 千米/小时,乙的速度为2 千米/小 时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的
23、最大通话距离为3 千米(含 3 千米) ,试问有多长时间两人不能通话? 【解答】 解: (1)在 RtABC中,AB=2,BC=2, 所以 C=30 , 在PBC中 PC=1 ,BC=2, 由余弦定理可得 BP 2=BC2+PC22BC?PCcos30 =(2) 2+122 1=7, 即 BP=; (2)在 RtABC中,BA=2,BC=2,AC=4, 设甲出发后的时间为t 小时,则由题意可知0t4, 设甲在线段 CA上的位置为点 M,则 AM=4t, 当 0t1 时,设乙在线段 AB上的位置为点 Q,则 AQ=2t, 如图所示,在 AMQ 中, 由余弦定理得 MQ 2=(4t)2+(2t)2
24、2?2t?(4t)cos60 =7t216t+79, 解得 t或 t, 所以 0t; 当 1t4 时,乙在值班室 B 处,在 ABM 中, 由余弦定理得 MB2=(4t)2+42?2t?(4t)cos60=t 26t+129, 解得 t3或 t3+,又 1t4,不合题意舍去 综上所述 0t时,甲乙间的距离大于3 千米, 所以两人不能通话的时间为小时 20 (16 分)设集合 A,B 均为实数集 R的子集,记 A+B=a+b| aA,bB (1)已知 A= 0,1,2 ,B=1,3 ,试用列举法表示A+B; (2) 设 a1=, 当 nN*且 n2 时, 曲线+=的焦距为 an, 如果 A= a
25、1, a2, ,an,B= , ,设 A+B中的所有元素之和为Sn,求 Sn的值; (3)在( 2)的条件下,对于满足m+n=3k,且 mn 的任意正整数 m,n,k, 不等式 Sm+SnS k0 恒成立,求实数 的最大值 【解答】 解: (1)A+B= a+b| aA,bB ; 当 A= 0,1,2,B= 1,3时, A+B= 1,0,1,3,4,5; (2)曲线+=,即=,在 n2 时表示双曲线, 故 an=2=n, a1+a2+a3+ +an= B= , , A+B中的所有元素之和为Sn=3 (a1+a2+a3+ +an)+n()=3?+n ()=n2, (3) Sm+SnS k0 恒成
26、立 ? =恒成立, m+n=3k,且 mn, =, , 故实数 的最大值为 21 (18 分)对于定义在 0,+)上的函数 f(x) ,若函数 y=f(x)( ax+b) 满足: 在区间 0,+)上单调递减,存在常数p,使其值域为( 0,p ,则称函数 g(x)=ax+b 是函数 f(x)的“ 逼进函数 ” (1)判断函数 g(x)=2x+5 是不是函数 f(x)=,x 0,+)的“ 逼 进函数 ” ; (2)求证:函数 g(x)=x 不是函数 f(x)=()x,x 0,+)的 “ 逼进函 数” (3)若 g(x)=ax 是函数 f(x)=x+,x 0,+)的 “ 逼进函数 ” ,求 a 的值
27、 【解答】 解: (1)f(x)g(x)=(2x+5)=, 可得 y=f(x)g(x)在 0,+)递减,且 x+22, 0,可得存在 p=,函数 y的值域为( 0, , 则函数 g(x)=2x+5 是函数 f(x)=,x 0,+)的 “ 逼进函数 ” ; (2)证明: f(x)g(x)=() x x, 由 y=()x,y=x 在 0,+)递减, 则函数 y=f(x)g(x)在 0,+)递减, 则函数 y=f(x)g(x)在 0,+)的最大值为 1; 由 x=1时,y=0,x=2时,y=1=0, 则函数 y=f(x)g(x)在 0,+)的值域为(, 1 , 即有函数 g(x)=x 不是函数 f(x)=() x,x 0,+)的 “ 逼进函数 ” ; (3)g(x)=ax是函数 f(x)=x+,x 0,+)的 “ 逼进函数 ” , 可得 y=x+ax为 0,+)的减函数, 可得导数 y=1a+0 在 0,+)恒成立, 可得 a1, 由 x0 时,=1, 则 a11,即 a2; 又 y=x+ax在 0,+)的值域为( 0,1 , 则(a1)x, x=0时,显然成立; x0 时,a1, 可得 a11,即 a2 则 a=2
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