高一数学人教A版必修四教案:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案.pdf
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1、平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、教学分析 我们在前面已经学过,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨 论一些几何元素的位置关系. 既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能 ,运 算结果应该是什么呢?另外 ,距离和角是刻画几何元素(点、线、面 )之间度量关系的基本量.我 们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知 ,向量概念的引入 与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F 的作用下产生位移s(如 图 1),那么力 F所做的功 图 1 W=| F|s|cos 功 W 是一个数
2、量 ,其中既涉及 “ 长度 ”,也涉及 “ 角 ”,而且只与向量F,s 有关 .熟悉的数的运算 启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a b=| a| |b|cos . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;掌握平面向量的数量积及其几何意义;了解 用平面向量的数量
3、积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;掌握向量垂直的条件。 2、过程与方法: 通过物理中 “功”等实例, 理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会平面向量的 数量积与向量投影的关系。 3、情感态度与价值观: 通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积,培养学生的抽象概括能力。 三、重点难点 教学重点 :平面向量数量积的定义. 教学难点 :平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等 概念 ,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系
4、,将向 量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理 许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使 我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些 物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中 ,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F 所做的 功 W 可由下式计算: W=| F|s|cos 其中 是 F与 s 的夹角 .我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量 ). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过
5、,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一 个向量 .我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零 )运算 ,就自然地会想到, 任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? (二)推进新课、新知探究、提出问题 a b的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? 由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运 算,它是否满足实数的乘法运算律? 我们知道 ,对任意a,bR,恒有 (a+b) 2=a2+2ab+b2 ,(a+b)(a-b)=a 2-b2.对任意向量 a、b,是否 也有下面类似的结论? (1)(a+b) 2
6、 =a 2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b)=a 2-b2. 活动 :已知两个非零向量a 与 b,我们把数量 | a| b|cos 叫做 a 与 b的数量积 (或内积 ),记作 a b, 即 a b=| a| b|cos (0 ). 其中 是 a 与 b 的夹角 ,|a|cos (| b|cos )叫做向量 a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影 .如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0 180. 图 2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的 余
7、弦的乘积 ; (2)零向量与任一向量的数量积为0,即 a 0=0; (3)符号 “”在向量运算中不是乘号,既不能省略 ,也不能用 “”代替 ; (4)当 00, 从而 a b0;当 2 时,cos 0,从而 a b0.与学生共同探究并证 明数量积的运算律. 已知 a,b,c和实数 , 则向量的数量积满足下列运算律: a b=b a(交换律 ); ( a) b=( a b)=a( b)(数乘结合律 ); (a+b) c=a c+b c(分配律 ). 特别是 :(1)当 a 0 时,由 a b=0 不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向 量 b,都有 a b=0. 图 3 (2)已
8、知实数a、b、 c(b 0),则 ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a b=b c 不能推出a=c.由图 3 很容易看出 ,虽然 a b=b c,但 a c. (3)对于实数a、 b、 c 有(a b)c=a(b c);但对于向量a、 b、 c,(a b)c=a(b c)不成立 .这是因为 (a b)c 表示一个与c 共线的向量 ,而 a(b c)表示一个与a 共线的向量 ,而 c 与 a 不一定共线 ,所以 (a b)c=a(b c)不成立 . 讨论结果 :是数量 ,叫数量积 . 数量积满足a b=b a(交换律 ); ( a) b=(a b)=a ( b)(数乘结合律
9、); (a+b) c=a c+bc(分配律 ). (1)(a+b)2=(a+b) (a+b) =ab+a b+b a+bb=a 2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b)=a a-a b+ba-bb=a 2-b2. 提出问题 如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? 能用 “ 投影 ” 来解释数量积的几何意义吗? 活动 :教师引导学生来总结投影的概念,可以结合 “ 探究 ”,让学生用平面向量的数量积的定义, 从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点 “ 投影 ” 的概念 , 如图 4. 图 4 定义 :| b|cos 叫做向量b 在 a 方向
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