高一数学人教A版必修四教案:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Word版含答案.pdf
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1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教学分析 前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐 标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的 数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面 ,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角, 因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用 平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量 数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向 量所成的角 ,其次
2、 ,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本 结论 ;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利 用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节 是平面向量数量积的第二部分. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、 课堂训练 ,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其 中一些因素 ,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了 平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示
3、奠 定了知识和方法基础. 二、教学目标 1、知识与技能: 会进行平面向量数量积的运算,掌握数量积的坐标表达式,;能运用数量积表示两个向量 的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法: 通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算,明确数学是研究数与形有机结合的学科, 揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。 3、情感态度与价值观: 能用所学知识解决有关综合问题。 三、重点难点 教学重点 :平面向量数量积的坐标表示. 教学难点 :向量数量积的坐标表示的应用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也 会改变
4、.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节 , 我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带 来哪些变化呢?由此直接进入主题. 思路 2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也 可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示? 若能 ,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗?同时,平面向量 的模、夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示, 在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
5、(二)推进新课、新知探究、提出问题 平面向量的数量积能否用坐标表示? 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示 a b 呢? 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件? 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式? 活动 :教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用 平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积 的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们 就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来
6、表示 呢?教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表 示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充 .推导过程如 下: a=x1+y1j,b=x2+y2j, a b=(x1+y1j) (x2+y2j) =x1x2 2+x 1y2 j+x2y1 j+y1y2j 2. 又 =1,j j=1, j=j=0, a b=x1x2+y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1 平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a b=x1x2+y1y2. 2 向量模的坐标
7、表示 若 a=(x,y),则| a| 2=x2+y2 ,或| a|= 22 yx. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),| a|=.)()( 2 12 2 12 yyxx 3 两向量垂直的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 abx1x2+y1y2=0. 4 两向量夹角的坐标表示 设 a、b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2), 是 a 与 b 的夹角 ,根据向量数量积的定义及坐 标表示 ,可得 cos = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 | yxyx yyxx
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