高一数学人教A版必修四教案:2.3平面向量的正交分解及坐标表示Word版含答案.pdf
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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教学设计 【教学目标】 1能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 2理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法; 3了解平面向量基本定理; 【导入新课】 复习引入: 运算定律 结合律: ( a)=( )a;分配律: ( + )a=a+a,(a+b)= a+b . 1 2实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量,记作:a.(1)| a|=| |a| ; (2)0 时,a与 a方向相同; 0 时, a与a方向相反; =0 时, a=0. 3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共
2、线的充要条件是:有且只有一个非零实数 ,使b=a. 新授课阶段 一、平面向量基本定理:如果 1e , 2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量a,有且只有一对实数1,2使a=1 1 e+2 2 e. 探究: (1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. 1, 2是被a, 1e , 2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底 . 任作一个
3、向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得 yjxia 1 1 我们把),(yx叫做向量a的(直角)坐标,记作 ),(yxa 2 2 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标, 2 2式叫 做向量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 ),(yx. 特别地,)0, 1(i,)1 ,0(j,)0,0(0. 如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作aOA,则点 A的位置由 a唯一确定 . 设yjxiOA,则向量OA的坐标),(yx就是点 A的坐标;反过来,点A的坐标),(yx 也 就是向量OA的坐标 . 因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表
4、示 . 三、平面向量的坐标运算 (1)若),( 11 yxa,),( 22 yxb,则ba),( 2121 yyxx, ba),( 2121 yyxx. 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、j,则ba)()( 2211 jyixjyixjyyixx)()( 2121 ,即 ba),( 2121 yyxx,同理可得ba),( 2121 yyxx. (2)若),( 11 yxA,),( 22 yxB,则 1212 ,yyxxAB. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x 2,y2) -(x1,y1)= (x2 x 1
5、, y2 y 1). (3)若),(yxa和实数,则),(yxa. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j,则a)(yjxiyjxi,即),(yxa. 例 1 已知 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,求AB的坐标 . 例 2 已知a=(2 ,1) ,b=(-3 ,4) ,求a+b,a-b,3a+4b的坐标 . 例 3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1) ,B(1,3) , C(3 ,4) ,求点 D的坐标使这四 点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形为ABCD时,由DCAB,得 D1=(2 ,2). 当平行四边形为ACDB 时,得 D2=(
6、4,6) ,当平行四边形为DACB 时,得 D3=(6,0). 例 4 已知三个力 1 F(3 ,4) , 2 F(2 , 5) , 3 F(x ,y) 的合力 1 F+ 2 F+ 3 F=0,求 3 F的坐标 . 解:由题设 1 F+ 2 F+ 3 F=0,得: (3, 4)+ (2 ,5)+(x ,y)=(0 ,0) , 即: 320, 450, x y 5, 1. x y 3 F(5,1). 例 5 已知a=(2,1),b=( 3,4), 求ab,ab,3a 4b的坐标 . 解:ab( 2,1 )+(-3,4 )=( 1,5) , ab ( 2,1 )- (-3,4 )=(5, 3),
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