高一数学人教A版必修四教案:2.3平面向量的基本定理及其坐标表示(1-2课时)Word版含答案.pdf
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1、2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 一、教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内 任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样 ,如果将平面内向量的始点放在一起, 那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也 就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本 定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重 要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相
2、垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方 便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平 面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底 ,这时 ,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一 对实数 x、y,使得 a=xi+yj. 于是 ,平面内的任一向量a 都可由 x、 y 唯一确定 ,而有序数对 (x,y)正好是向量a的终点的坐标, 这样的 “ 巧合 ” 使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“ 量化 ” 表 示,使我们在使用向量工具时得以实现“ 有效
3、能算 ” 的思想 . 二、教学目标 1、知识与技能: 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,掌握平面向量正交分解 及其坐标表示。了解平面向量的基本定理及其意义; 2、过程与方法: 能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达。初步掌握应用向 量解决实际问题的重要思想方法; 3、情感态度与价值观: 通过平面向量的正交分解及坐标表示,揭示图形(向量)与代数(坐标)之间的联系。 三、重点难点 教学重点 :平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点 :平面向量基本定理的运用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路1.在
4、物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分 解的 ,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓 展到向量中来,会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力 F2.我们知道飞机 在起飞时若沿仰角 的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcos 和沿竖直方向 的速度vsin .从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解, 即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果 e1、e2是同
5、一 平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么 a与 e1、 e2之间有什么关系呢? 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 做把向量正交分解.在平面上 ,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便 的研究呢 ? 思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在 一起 ,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量 来表示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成, 在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过
6、相应的课件来演示平 面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的 结论? (二)推进新课、新知探究、提出问题 图 1 给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量 3e1+2e2、e1-2e2.平面内 的任一向量是否都可以用形如 1e1+2e2的向量表示呢 ? 如图 1,设 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通 过作图研究a 与 e1、e2之间的关系 . 活动 :如图 1,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a.过点 C作平行于直线 OB 的直线 , 与直线 OA;过点 C作平行于直线OA
7、的直线 ,与直线 OB交于点 N.由向量的线性运算性质可知, 存在实数 1、 2,使得OM=1e1,ON=2e2.由于ONOMOC,所以 a=1e1+2e2.也就是说 , 任一向量a 都可以表示成 1e1+2e2的形式 . 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出 来.当 e1、 e2确定后 ,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方 便. 由此可得 :平面向量基本定理: 如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 有一对实数 1、2,使 a=1e1+2e2. 定理说明 :(1)我们把
8、不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一 ,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解 ; (4)基底给定时 ,分解形式唯一. 讨论结果 :可以 . a= 1e1+2e2. 提出问题 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 活动 :引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的, 结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对 回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给
9、出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于 向量的夹角 ,我们规定 : 图 2 已知两个非零向量a 和 b(如图 2),作OA=a,OB=b,则 AOB= (0 180)叫做向量a 与 b 的 夹角 . 显然 ,当 =0时,a 与 b 同向 ;当 =180时,a 与 b 反向 .因此 ,两非零向量的夹角在区间0 ,180 内. 如果 a 与 b 的夹角是90 ,我们说 a 与 b 垂直 ,记作 a b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量 1a1和 2a2, 使 a= 1a1+2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直
10、的向量,叫 做把向量正交分解.如上 ,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量 分解中常见的一种情形. 在平面上 ,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果 :存在夹角且两个非零向量的夹角在区间0 ,180内;向量与直线的夹角不一 样. 可以 . 提出问题 我们知道 ,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标 )表示 .对直 角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢 ? 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的? 图 3 活动 :如图 3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作 为基底
11、.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、 y,使得 a=x+yj 这样 ,平面内的任一向量a 都可由 x、 y 唯一确定 ,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标 ,记作 a=(x,y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标 ,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 ,式叫做向量的坐标表示.显然 , =(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量 a 与有序实数对 (x,y)一一对应 . (2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相 对位置有关系 .如图所示 , 11 BA是表示
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