【年必备】江苏省盐城市、南京市数学一模试卷及解析.pdf
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1、江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请 把答案写在答题纸的指定位置上) 1 (5 分)已知集合 A=x| x(x4)0 ,B= 0,1,5,则 AB= 2 (5 分)设复数 z=a+i(aR,i 为虚数单位),若( 1+i)?z为纯虚数,则 a 的 值为 3 (5 分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学 六年级 4000名学生中随机抽取 100名学生进行问卷调查, 所得数据均在区间 50, 100 上,其频率分布直方图如图所示, 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅 读的时间在 70,8
2、0) (单位:分钟)内的学生人数为 4 (5 分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的 y 的值为 5 (5 分)口袋中有形状和大小完全相同的4 个球,球的编号分别为 1,2,3,4, 若从袋中一次随机摸出2 个球,则摸出的2 个球的编号之和大于4 的概率 为 6 (5 分)若抛物线y2=2px 的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p 的值为 7 (5 分)设函数 y=exa 的值域为 A,若 A? 0,+) ,则实数 a 的取值 范围是 8 (5 分)已知锐角 ,满足(tan 1) (tan 1)=2,则 +的值为 9 (5 分)若函数y=sin x 在区间 0,2 上单调递增,则实数 的
3、取值范围 是 10 (5 分)设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和,若 an 的前 2017 项中的奇数项和 为 2018,则 S2017的值为 11 (5 分)设函数 f(x)是偶函数,当x0 时,f(x)=, 若函数 y=f(x)m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 12 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,若直线 y=k(x3)上存在一点 P,圆 x2+(y1)2=1上存在一点 Q,满足=3,则实数 k 的最小值为 13 (5 分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶 点称为 “ 晶格点 ” 若 A,B,C,D 四点均位于图中的 “ 晶格点 ” 处,且
4、 A,B的位置 所图所示,则的最大值为 14 (5 分)若不等式 ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC对任意 ABC都成立,则实数 k 的最小值为 二、解答题(共6 小题,满分 90 分) 15 (14 分)如图所示,在直三棱柱ABC A1B1C1中,CA=CB ,点 M,N 分别是 AB,A1B1的中点 (1)求证: BN平面 A1MC; (2)若 A1MAB1,求证: AB1A1C 16 (14 分)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c 已知 c= (1)若 C=2B ,求 cosB的值; (2)若=,求 cos(B)的值 17 (14分)有一矩形硬纸板材
5、料(厚度忽略不计) ,一边 AB长为 6 分米,另一 边足够长现从中截取矩形ABCD (如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下 的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示, 重叠部分忽略 不计) ,其中 OEMF 是以 O 为圆心、 EOF=120 的扇形,且弧,分别与边 BC ,AD相切于点 M,N (1)当 BE长为 1 分米时,求折卷成的包装盒的容积; ( 2 ) 当BE 的 长 是 多 少 分 米 时 , 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大 ? 18 (16 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C :(ab0) 的下顶点为 B,点 M,N 是椭圆上异于
6、点 B的动点,直线 BM,BN分别与 x 轴交 于点 P,Q,且点 Q是线段 OP的中点当点 N 运动到点()处时,点 Q 的坐标为() (1)求椭圆 C的标准方程; (2)设直线 MN 交 y 轴于点 D,当点 M,N 均在 y 轴右侧,且=2时,求直 线 BM 的方程 19 (16 分)设数列 an满足 a=an+1an1+ (a2a1)2,其中 n2,且 nN, 为常数 (1)若 an是等差数列,且公差d0,求 的值; (2)若 a1=1,a2=2,a3=4,且存在 r 3,7 ,使得 m?annr 对任意的 n N*都成立,求 m 的最小值; (3)若 0,且数列 an 不是常数列,如
7、果存在正整数T,使得 an+T=an对任意 的 nN*均成立求所有满足条件的数列an中 T的最小值 20 (16 分)设函数 f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,cR) (1)当 c=0时,若函数 f(x)与 g(x)的图象在 x=1处有相同的切线,求a,b 的值; (2)当 b=3a 时,若对任意 x0(1,+)和任意 a(0,3) ,总存在不相 等的正实数 x1,x2,使得 g(x1)=g(x2)=f(x0) ,求 c 的最小值; (3)当 a=1时,设函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x1x2)两点求证: x1x2x2bx1x2
8、x1 选做题 (在 21.22.23.24四小题中只能选做2 题,每小题 10 分,计 20 分请 把答案写在答题纸的指定区域内) 选修 4-1:几何证明选讲 图 21 (10 分)如图,已知 AB为O 的直径,直线 DE与O相切于点 E,AD垂直 DE于点 D若 DE=4 ,求切点 E到直径 AB的距离 EF 选修 4-2:矩阵与变换 22 (10分)已知矩阵 M=,求圆 x2+y2=1在矩阵 M 的变换下所得的曲线方 程 选修 4-4:坐标系与参数方程 23在极坐标系中,直线cos ( +)=1 与曲线 = r(r0)相切,求 r 的值 选修 4-5:不等式选讲 24已知实数 x,y 满足
9、 x2+3y2=1,求当 x+y 取最大值时 x 的值 25 (10 分)如图,四棱锥PABCD的底面 ABCD是菱形, AC与 BD交于点 O, OP底面 ABCD ,点 M 为 PC中点, AC=4 ,BD=2,OP=4 (1)求直线 AP与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC所成锐二面角的余弦值 26 (10 分)已知 nN*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+ +nCnn 1C nn (1)求 f(1) ,f(2) ,f(3)的值; (2)试猜想 f(n)的表达式(用一个组合数表示) ,并证明你的猜想 2018 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
10、参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请 把答案写在答题纸的指定位置上) 1 (5 分)已知集合 A=x| x(x4)0 ,B= 0,1,5,则 AB= 1 【解答】 解:集合 A= x| x(x4)0 =x| 0x4 ,B= 0,1,5, AB= 1 故答案为: 1 2 (5 分)设复数 z=a+i(aR,i 为虚数单位),若( 1+i)?z为纯虚数,则 a 的 值为1 【解答】 解: z=a +i, (1+i)?z=(1+i) (a+i)=a1+(a+1)i, 又(1+i)?z为为纯虚数, a1=0即 a=1 故答案为: 1 3
11、 (5 分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学 六年级 4000名学生中随机抽取 100名学生进行问卷调查, 所得数据均在区间 50, 100 上,其频率分布直方图如图所示, 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅 读的时间在 70,80) (单位:分钟)内的学生人数为1200 【解答】 解:由频率分布直方图得: 该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 70,80) (单位:分钟)内的频率 为: 1(0.005+0.035+0.020+0.010)10=0.3, 估计该县小学六年级4000 名学生中每天用于阅读的时间在 70,80) (单位: 分钟)内的学生人数为:
12、40000.3=1200 故答案为: 1200 4 (5 分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的 y 的值为1 【解答】 解:根据题意知,执行程序后,输出函数 y=, 当 x=0时,y=e0=1 故答案为: 1 5 (5 分)口袋中有形状和大小完全相同的4 个球,球的编号分别为 1,2,3,4, 若从袋中一次随机摸出2 个球,则摸出的2 个球的编号之和大于4 的概率为 【解答】解:口袋中有形状和大小完全相同的4 个球,球的编号分别为 1,2,3, 4, 从袋中一次随机摸出2 个球,基本事件总数n=6, 摸出的 2 个球的编号之和大于4 包含的基本事件有: (1,4) , (2,3) ,
13、(2,4) , (3,4) ,共 4 个, 摸出的 2 个球的编号之和大于4 的概率为 p= 故答案为: 6 (5 分)若抛物线y2=2px 的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p 的值为6 【解答】 解:双曲线的方程, a 2=4,b2=5,可得 c= =3, 因此双曲线的右焦点为 F(3,0) , 抛物线 y2=2px(p0)的焦点与双曲线的右焦点重合, =3,解之得 p=6 故答案为: 6 7 (5 分)设函数 y=exa 的值域为 A,若 A? 0,+) ,则实数 a 的取值 范围是(, 2 【解答】 解:函数 y=exa 的值域为 A ex=2, 值域为 A= 2a,+) 又A? 0,
14、+) , 2a0, 即 a2 故答案为:(, 2 8 (5 分)已知锐角 ,满足(tan 1) (tan 1)=2,则 +的值为 【解答】 解:( tan 1) (tan 1)=2,可得: tan +tan +1=tantan, tan( + )=1, 锐角 , ,可得: + (0, ) , += 故答案为: 9 (5 分)若函数 y=sin x在区间 0,2 上单调递增,则实数的取值范围是 (0, 【解答】 解:由函数 y=sin x,图象过原点,可得 0 在区间 0,2 上单调递增, , 即 故答案为:(0, 10 (5 分)设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和,若 an 的前 201
15、7 项中的奇数项和 为 2018,则 S2017的值为4034 【解答】 解:因为Sn为等差数列 an 的前 n 项和,且 an的前 2017 项中的奇数 项和为 2018, 所以 S奇=a1+a3+a5+ +a2017=1009(a1+a2017)=1009a1009=2018,得 a1009=2 则 S偶=a2+a4+a6+ +a2016=1008(a2+a2016)=1008a1009=10082=2016 则 S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034 故答案为: 4034 11 (5 分)设函数 f(x)是偶函数,当x0 时,f(x)=, 若函数 y=f(x)m 有四个不同
16、的零点,则实数m 的取值范围是 1,) 【解答】 解:由 0x3 可得 f(x) 0, , x3 时,f(x)( 0,1) 画出函数 y=f(x)与 y=m 的图象,如图所示, 函数 y=f(x)m 有四个不同的零点, 函数 y=f(x)与 y=m 的图象有 4 个交点, 由图象可得 m 的取值范围为 1,) , 故答案为: 1,) 12 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,若直线 y=k(x3)上存在一点 P,圆 x2+(y1)2=1上存在一点 Q,满足=3,则实数 k 的最小值为 【解答】 解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ; 则 y1=k(x13), +(y21) 2=1;
17、由=3,得, 即, 代入得+=9; 此方程表示的圆心( 0,3)到直线 kxy3k=0的距离为 dr; 即3, 解得k0 实数 k 的最小值为 故答案为: 13 (5 分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶 点称为 “ 晶格点 ” 若 A,B,C,D 四点均位于图中的 “ 晶格点 ” 处,且 A,B的位置 所图所示,则的最大值为24 【解答】 解:建立如图的直角坐标系,则A(,) ,B(0,0) , 那么容易得到 C(0,5)时, D 的位置可以有三个位置,其中D1(,) , D2(,0) ,D3(,) , 此时=(,) ,=(,) ,=(,5) ,=( ,) , 则
18、?=21,?=24,?=22.5, 则的最大值为 24, 故答案为: 24 14 (5 分)若不等式 ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC对任意 ABC都成立,则实数 k 的最小值为100 【解答】 解: ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC ,由正弦定理可得: kb2+ac19bc, k, 只需 k 大于右侧表达式的最大值即可,显然cb 时,表达式才能取得最大值, 又cbab+c, bcabc, 19+()=20()2=100(10) 2, 当=10时,20()2取得最大值 2010102=100 k100,即实数 k 的最小值为 100 故答案为: 10
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